Secuencia de minimización que tiene cierta propiedad

Question

He visto este tipo de secuencia de minimización en un documento. No veo cómo es posible.

Digamos que tengo un espacio vectorial normado $V$ . $W$ es un subconjunto de $V$ . Y yo tengo un funcional $f$ en $W$ . ¿Puedo elegir una secuencia minimizadora $\{u_i\}$ tal que

1. $\lim f(u_i)=\inf_W f(u)$

2. $f(u_i)\leq f(u)+{1\over i} ||u_i-u||$ para cualquier $u\in W$ .

No veo por qué esto puede hacerse siempre.

Answer 1

No. Deja que $V=W=\mathbb{R}$ y $f(x)=2x$ en $W$ . Dada cualquier secuencia $\left\{u_i\right\}$ y $i\geq 2$ si dejamos que $u=u_i/2\in W$ entonces $$f(u_i)=2u_i=2(u_i/2)+|2u_i-2(u_i/2)|=f(u)+|f(u_i)-f(u)|>f(u)+(1/i)|f(u_i)-f(u)|.$$

Normalmente, las propiedades como la 2. se obtienen si se tienen algunas condiciones de $f$ y $W$ como la cerrazón/limitación de $W$ La reflexividad de $V$ , la convexidad de $f$ , $\inf f(W)>-\infty$ ...etc...