¿Por qué el 4-momento no se transforma como vector cuando se invierte el tiempo?

Question

$p^{\nu} = (E/c,\textbf{p})^T$

Tras la inversión del tiempo, la transformación de Lorenz ( $t'=-t,r'=r$ ) se convierte en:

$p'^{\nu} = (E/c,\textbf{-p})^T$

Pero si multiplicamos la matriz de transformación por las coordenadas antiguas, obtenemos el resultado contrario:

$(E'/c,\textbf{p}')^T =diag(-1,1,1,1)*(E/c,\textbf{p})^T = (-E/c,\textbf{p})^T $

Entonces, el 4-momento no es un vector...

Answer 1

Es porque el operador de inversión de tiempo $T$ es antiunitario. Hay que entender exactamente cómo se deriva la transformación del momento. El operador unitario que genera las traslaciones $U(a)$ satisface $$ T^{-1} U(a)T = U ( {\cal T}a) , \qquad {\cal T} = diag(-1,+1,+1,+1). \tag{1} $$ Ahora, recordamos que $U(a) = \exp ( i a^\mu P_\mu )$ donde $P_\mu$ es el generador de traducciones. Expandiendo la ecuación (1) en primer orden en $a^\mu$ encontramos $$ T^{-1} ( i P^\mu )T = {\cal T}^\mu{}_\nu ( i P^\nu ) $$ Pero, ahora recordamos que $T$ es antiunitario por lo que $T i T^{-1} = - i$ . Utilizando esto, encontramos $$ T^{-1} P^\mu T = - {\cal T}^\mu{}_\nu P^\nu $$ El resto del argumento es el siguiente. Sea $| p \rangle$ sea un estado propio de momento $$ P^\mu | p \rangle = p^\mu | p \rangle $$ Entonces, considere el estado $T | p \rangle$ . Esto satisface $$ P^\mu ( T | p \rangle ) = T T^{-1} P^\mu T | p \rangle = T ( - {\cal T}^\mu{}_\nu P^\nu | p \rangle = - {\cal T}^\mu{}_\nu p^\nu ( T | p \rangle ) $$ De ello se desprende que el estado $T | p \rangle$ tiene impulso $- {\cal T}^\mu{}_\nu p^\nu$ . Esto se suele escribir de forma concisa afirmando que en las inversiones de tiempo $$ p^\mu \to - {\cal T}^\mu{}_\nu p^\nu \quad \implies \quad ( E , \vec{p} ) \to ( E , - \vec{p} ). $$

Answer 2

Esto es sólo una prueba para las partículas masivas como: $$p^\nu = m\frac{\text{d}x^\nu}{\text{d}\tau}$$ donde $\tau$ es el momento adecuado, $m$ la masa y $x^\nu$ la posición de la partícula en el espacio-tiempo.

Bajo la transformación $t'=-t$ y $\vec{r}\,'=\vec r$ ¡el tiempo adecuado no ha cambiado! Así, sólo se obtiene un cambio de signo del $\nu=0$ componente. Por lo tanto, su segunda expresión es válida:

$$(E'/c,\textbf{p}')^T =diag(-1,1,1,1)*(E/c,\textbf{p})^T = (-E/c,\textbf{p})^T$$

El error en tu primera expresión es que utilizas la derivada con respecto al tiempo de las coordenadas y no el tiempo propio para tu definición del 4-momento.