Dejemos que $C$ sea una pequeña 2-categoría. Sea $[C , Cat]$ denotan la categoría 2 de funtores estrictos a $Cat$ , transformaciones 2-naturales, y modificaciones. Sea $[[ C, Cat ]]$ denotan la 2-categoría con los mismos objetos, pero transformaciones naturales laxas y modificaciones laxas para 1 y 2-morfismos. Existe un functor de inclusión natural 2 $i_C: [C, Cat] \to [[C, Cat ]]$ .
En su mayor parte me he convencido de que $i_C$ tiene una unión 2 a la izquierda y otra a la derecha, y que $i_C$ identifica $[[C, Cat ]]$ como la 2-categoría de Kleisli para la 2-mónada de "laxificación" resultante en $[C, Cat]$ y como la categoría 2 de coKleisli para la resultante 2-comonada en $[C, Cat]$ .
Pregunta: ¿Cuál es la 2-categoría de álgebras para esta 2-mónada de "laxificación" en $[C, Cat]$ ? (Éstas deberían formar una categoría 2 equivalente a las álgebras para la 2-comónada adjunta).
Tenga en cuenta que cuando $C = [1]$ es la categoría de la flecha, la 2-mónada es $(E \xrightarrow p B) \mapsto (p \downarrow B \to B)$ las álgebras de esta 2-mónada son las opfibraciones de Grothendieck en $Cat$ . Por otra parte, cuando $C = [1]$ la comónada es $(E \xrightarrow p B) \mapsto (E \to collage(p))$ y las coalgebras para esta 2-comónada son las coopfibraciones.
En este debate, deberíamos ser capaces de sustituir $Cat$ con cualquier categoría de 2 completa y cocompleta $\mathcal K$ .
