UberFacts tuiteó recientemente "Los edificios de oficinas son más altos por la noche: un rascacielos de 1.300 pies de altura se encoge aproximadamente 1,5 milímetros bajo el peso de 50.000 ocupantes".
¿Es válido lo que dicen? Parece poco probable, pero 1,5 es relativamente poco comparado con la altura real del edificio. ¿Qué es lo máximo que puede encoger el edificio y en qué circunstancias?
No me parece para nada descabellado como estimación. Vamos a comprobarlo.
Uno diseña un edificio como un compromiso entre dos factores que compiten:
Es necesario que todos los materiales que soportan la carga estén bien cargados, trabajando en su región lineal, para que no haya peligro de que sufran una deformación plástica (irreversible), que se arrastre y que acabe fallando catastróficamente;
Sin embargo, los elementos portantes sometidos a poca tensión significan elementos infrautilizados: si sobredimensionamos las cosas, elevamos enormemente el coste.
Para simplificar, consideremos la resistencia a la carga de compresión del edificio frente a su propio peso: también tiene que soportar los esfuerzos de cizallamiento del viento, pero si consideramos sólo el peso tendremos una cifra aproximada.
Los materiales típicos se comportan bajo tensión de una manera descrita por una curva con la siguiente forma:
Esta curva es una que tomé del Página de Wikipedia "Esfuerzo de compresión .
Por lo tanto, queremos que todos los miembros que soportan la carga sufran una tensión que se encuentre en la parte lineal de baja tensión de esta curva. El punto superior de la región lineal se llama punto de producción y hay que estar muy por debajo de ella, porque es donde el material de soporte sufrirá una deformación plástica e irreversible y, en última instancia, correrá el riesgo de fallar. Pero no queremos ser también muy por debajo de este punto, de lo contrario estamos añadiendo material, y coste, innecesariamente al edificio.
No sé lo que utilizan los ingenieros civiles, pero un factor de una cuarta parte del límite elástico parece razonable. En el caso del hormigón, la curva es más lineal que la anterior hasta el punto en que el hormigón falla: lo hace cuando alcanza una compresión de aproximadamente $40{\rm MPa}$ (Véase la sección " Caja de herramientas de ingeniería aquí ). En su región de trabajo lineal, su módulo de Young es $E = 30{\rm GPa}$ por lo que a una tensión de un cuarto de su fuerza ( es decir en $10{\rm MPa}$ ) su tensión de compresión es
$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{10\times 10^6{\rm Pa}}{30\times 10^9{\rm Pa}}\approx 3.3\times 10^{-4}$$
En el caso del acero, el acero estructural de alta resistencia tiene un límite elástico del orden de $300{\rm MPa}$ y su módulo de Young es $200{\rm GPa}$ . Así que cuando está "trabajando" a una cuarta parte de su rendimiento, tenemos:
$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{75\times 10^6{\rm Pa}}{200\times 10^9{\rm Pa}}\approx 3.8\times 10^{-4}$$
es decir bastante cerca del valor del hormigón. Por lo tanto, si la carga es soportada por el hormigón o el acero, a la misma "utilización", es decir misma fracción de límite elástico, ambos materiales muestran aproximadamente la misma deformación.
Ahora, la configuración óptima en cuanto a costes es con todo el material de carga del edificio trabajando a la misma fracción de su límite elástico . Esto significa que la resistencia a la carga disminuirá con la altura: los miembros superiores de la carga sólo tienen que sostener el edificio por encima de ellos. Esto no es del todo correcto -en el caso del Taipei 101, por ejemplo, hay un enorme péndulo en lo alto del edificio para contrarrestar el balanceo del viento-, pero suponer que toda la estructura está más o menos en el mismo estado de compresión es probablemente una buena estimación de trabajo.
Esta es, pues, la clave de nuestra estimación:
Toda la estructura a lo largo de toda su altura sufre una tensión de compresión constante de $\epsilon = 3.5\times10^{-4}$
50 000 personas ponen una carga de alrededor de $5\times 10^4\times 60{\rm kg}$ o unas 3000 toneladas en el edificio. En aquí La masa total del Taipei 101 se estima en 700.000 toneladas. La masa del edificio es mucho mayor que la de las personas, así que suponemos que con 700 000 toneladas, la tensión del edificio es $\epsilon = 3.5\times10^{-4}$ . Esto significa que 3.000 toneladas repartidas uniformemente por todo el edificio añaden una tensión adicional de:
$$\Delta\epsilon \approx \frac{3\times 10^3}{7\times 10^5}\times 3.5\times 10^{-4}\approx 1.5\times 10^{-6}$$
Para un edificio de la altura del Taipei 101 (500 m), esto corresponde a una reducción de la altura de $1.5\times 10^{-6}\times 500 = 750{\rm \mu m}=0.75{\rm mm}$ .
Esto se acerca notablemente a su estimación. Dado que no soy ingeniero civil, es muy posible que se utilicen materiales de diferente resistencia y que sea una práctica segura diseñar más cerca del límite elástico de lo que he supuesto. Una cifra de 1,5 mm implica una "utilización" constante de los materiales a la mitad de su límite elástico: esto también suena razonable (un poco aterrador para alguien sin formación como yo, pero aún así creíble). Probablemente también sea más barato utilizar materiales de mayor coste y mayor resistencia en las secciones inferiores del edificio y de menor coste y menor resistencia en la parte superior, desviándose así de mi suposición de utilización constante/deformación constante con la altura.
Por lo tanto, me parece muy creíble su encogimiento citado. Es definitivamente en el terreno de juego correcto.
¿Qué importancia tendría la expansión debida a la temperatura? Yo esperaría que fuera mucho más de 1,5 milímetros.
@Davor Ese es un punto muy bueno. Tanto el acero como el hormigón tienen $\alpha$ sobre $10^{-5}{\rm m\,K^{-1}}$ por lo que los efectos de la temperatura son unas diez veces mayores que esta tensión por cada grado kelvin. Me sorprendió un poco lo pequeño que resultó ser el efecto, pero entonces 50 000 personas es una masa mucho más pequeña que la masa del edificio. Así que encontramos que el efecto del peso de las personas es aproximadamente una centésima parte del efecto de la temperatura (una parte en $10^{4}$ para un cambio de 10K) que a su vez es del mismo orden de la tensión engendrada por el propio peso del edificio.
De acuerdo, la afirmación es esencialmente falsa: los rascacielos son más bajos por la noche que por el día, porque están más frescos. Por otro lado, son más altos los fines de semana que entre semana.
Hagamos una estimación. Supongamos que el rascacielos tiene 400 m de altura, cada planta 4 m, 500 personas por planta, 20 m2 por persona, 10000 m2 por planta, supongamos que el edificio es un cuadrado de 100x100 m2 en planta y que sólo tiene paredes estructurales de 10 cm de grosor en una cuadrícula de 25x25m2. Por tanto, el área de la sección transversal de los muros estructurales es de 2x5x100x0,1 m2=100 m2. Supongamos que el peso medio de una persona es de 1000 N, y que el módulo de elasticidad del hormigón es de 50 GPa. Por lo tanto, un peso de 100 m2 x 50 GPa= 5x10^12 N contraería los muros de hormigón en 400 m (suena estúpido, pero no importa). Entonces el peso de las personas 1000 N x 50000=5x10^7 N contraería los muros de hormigón en 400 m/10^5=4mm. Así que tu cifra de 1,5 mm no parece escandalosa. Permíteme observar que 4 mm es una contracción adicional con respecto a la contracción bajo el peso muerto del edificio. También hay que tener en cuenta que la estructura real puede tener columnas estructurales, en lugar de muros estructurales.
EDITAR: @Ernie mencionó el efecto de la expansión/contracción térmica. Parece que este efecto es mucho más importante. El coeficiente de expansión térmica del hormigón es de unos 10^(-5)/deg. C, por lo tanto, la expansión/contracción es de 400 m x 10^(-5)/deg. C = 4 mm/deg. C.
El módulo de Young es la relación entre la tensión de tracción y la deformación de tracción de un material:
E = (F/A)/(L/L) = (F * L) / (A * L)
F/A es la fuerza por área, y (L/L) es el cambio de longitud por la longitud original
Para el acero estructural, el módulo de Young es de 200 gigapascales. Esta cantidad puede utilizarse para predecir cuánto se comprimirá el acero bajo un peso determinado por unidad de superficie.
La relación entre la altura y la anchura de un rascacielos suele ser de 5/1 o 7/1. Yo esperaría que un rascacielos de 1300 pies estuviera cerca del extremo inferior, por lo que el lado de una planta sería probablemente 1300/5=260, lo que haría que la huella fuera de 260^2 = 67.600 pies cuadrados. Adivinando el área de la sección transversal de cada poste de acero y el número de postes que soportan el edificio, voy a decir que la sección transversal de acero combinada es el 5% de la huella, o 3.380 sf = 314 metros cuadrados.
El peso de 50.000 personas es aproximadamente 7.000.000 libras, o 31.138.000 newtons de fuerza aplicada a 314 metros cuadrados de acero, o 99.165 newtons por metro cuadrado. Sin embargo, como los postes superiores soportan progresivamente menos peso que los inferiores, voy a decir que éste es soportado por la mitad de 1.300 = 650 pies lineales, o 198 metros de acero.
Puedes utilizar el módulo de Young para calcular la cantidad de compresión durante el día y la expansión por la noche, cuando la gente se ha ido (ignorando el efecto de la variación de temperatura entre la noche y el día):
200 gigapascales = (31.138.000 * 198) / (314 * L)
L = 0,103 metros = 103 milímetros, que es mucho más que los 1,5 milímetros que tuitea UberFacts. La discrepancia entre yo y UberFacts es grande. ¿Tal vez debido a mis suposiciones?
@LDC3 En realidad, sorprendentemente no importa mucho si el edificio se sostiene principalmente con acero u hormigón. En el punto óptimo de coste, todos los materiales tienen el mismo "aprovechamiento", es decir fracción de su límite elástico. A una cuarta parte de su límite elástico, tanto el acero como el hormigón son notablemente parecidos: sufren una deformación en esta tensión de aproximadamente $3.5\times 10^{-4}$ como he encontrado en mi respuesta.
¿Qué son esos "pies" y "libras"? (Dejando de lado la elección de las unidades, nunca he entendido por qué los estadounidenses citan pesos enormes en libras. Es como decir que la distancia de Nueva York a Chicago es de cincuenta millones de pulgadas. Dicho esto, cincuenta millones de pulgadas es un número tan maravillosamente redondo, y correcto a 3sf si tomamos las 789 millas de Google Maps como la distancia real, que quizá tenga que empezar a usarlo).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Siguiendo la sugerencia de Dave Peters tal vez quieras replantear la última parte de tu pregunta como "¿Existe una forma de calcular una estimación aproximada para apoyar la afirmación en UberFacts?"
2 votos
Supongo que la otra pregunta para UberFacts es: ¿han medido esta diferencia o la han estimado basándose en modelos físicos?
1 votos
Aunque pueda parecer contraintuitivo, la flexibilidad hace que la estructura sea mejor. Demasiada rigidez es mala. El armazón de acero del Empire State se construyó para ser algo flexible, y (historia real, yo trabajaba allí), los edificios de oficinas a menudo se agrietaban y nos decían "eso se supone que ocurre, el edificio está diseñado para balancearse con el viento". Es completamente razonable que un edificio (a medida que cada persona va a trabajar cada día) se acorte un poquito por el peso de esa persona. ¿Cuánto se reduce? Eso depende del edificio.
0 votos
Técnicamente, el edificio podría reducirse hasta convertirse en un montón de escombros, por ejemplo, si se produjera un terremoto, pero es de suponer que no te referías a eso. Supongo que te refieres a elástico deformación: ¿cuánto puede cambiar el tamaño del edificio sin alterar permanentemente su estructura? Una aclaración de la pregunta en este sentido probablemente la haría mejor, y ayudaría a aclarar la física pertinente.
0 votos
Creo que si saliéramos a buscar datos empíricos sobre esto, veríamos algún tipo de fluctuación en la altura del edificio entre el mediodía y, digamos, a última hora de la noche, cuando el edificio se ha enfriado. Puede que me equivoque, pero creo que una buena respuesta debería incorporar también el efecto que la temperatura tiene sobre la altura. En este caso no sólo interviene el peso de los ocupantes, sino también otros factores que contribuyen a la altura.
3 votos
Esto sugiere la siguiente pregunta: ¿Cómo se compara la diferencia de altura causada por diferentes cargas de peso con las diferencias de altura por diferentes temperaturas (exteriores)?