Si $x^{T}A^{T}Ax = x^Tx$ es válida para cada $x$ entonces $A^{T} A = I_n$

Question

Dado $A \in \mathbb R^{n \times n}$ , si $$\left( \forall x \in\mathbb R^n \right) \left(x^{T} A^{T} A x = x^T x \right)$$ como concluir que $A^{T}A = I_n$ ?

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Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Es de suponer que el campo subyacente es real. Basta con demostrar la afirmación más fuerte de que si $S$ es una matriz simétrica y $x^TSx$ es idénticamente cero, entonces $S=0$ . Para demostrarlo, pon $x=v+Sv$ para algún vector arbitrario $v$ .

Answer 2

Un enfoque ligeramente diferente (en la fase final de la prueba).
Tenemos $$\left( \forall x \in\mathbb R^n \right) \left(x^{T} (A^{T} A -I) x =0 \right)$$

$S=A^{T} A -I$ es obviamente simétrica, por lo que es diagonalizable.

La ecuación anterior debe cumplirse también para cualquier vector propio $v$ de $S$ . es decir $v^TSv=0 =v^T\lambda v$ ,
por lo que cada valor propio $\lambda$ de $S$ es cero y su forma diagonal debe ser la matriz cero lo que significa $S$ es la propia matriz cero.