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Cuál es el espacio clasificatorio de los "G-bundles con conexiones"

Dejemos que $G$ sea un grupo (tal vez de Lie), y $M$ un espacio (quizás un colector). Entonces un principal $G$ -Acabar con el paquete $M$ es un conjunto $P \to M$ en el que $G$ actúa (mediante mapas preservadores de fibras), de modo que cada fibra es una $G$ -torsor (a $G$ -es isomorfa, aunque no canónicamente, a la acción de $G$ sobre sí mismo por multiplicación). Un mapa de $G$ -bundles es un mapa de bundles que juega bien con las acciones.

Entonces sé más o menos lo que el espacio de clasificación de $G$ es: es algún paquete $EG \to BG$ que es universal en la categoría de homotopía de (principal) $G$ -fondos. Es decir, cualquier $G$ -bundle $P \to M$ tiene un mapa (único hasta la homotopía) $P\to EG$ y $M \to BG$ y a la inversa, cualquier mapa $M\to BG$ (hasta la homotopía) determina un haz (único hasta el isomorfismo) $P \to M$ y tirando hacia atrás el cuadrado obvio.

Al menos, así es como creo que funciona. La descripción de Wikipedia de $BG$ está aquí.

Por lo tanto, dejemos que $G$ sea un grupo de Lie y $M$ un colector liso. En un $G$ -bundle $P \to M$ Puedo pensar en conexiones . Como siempre, una conexión debe determinar para cada trayectoria suave en $M$ a $G$ -torsor isomorfismo entre las fibras sobre los extremos del camino. Así que, en particular, un haz-con-conexión es un functor (suave) del espacio de trayectorias de $M$ a la categoría de $G$ -torsores. Pero no todas son conexiones: el valor de la holonomía a lo largo de un camino es un invariante hasta la "homotopía fina", que es esencialmente la homotopía que no se aleja de la imagen de la curva. Por lo tanto, se podría decir que un haz-con-conexión es un functor suave del espacio de la trayectoria de homotopía fina.

Más práctico, una conexión en $P \to G$ es un ${\rm Lie}(G)$ -una forma valorada en $P$ que es (1) invariable bajo la $G$ y (2) restringe en cada fibra a la acción canónica ${\rm Lie}(G)$ -una forma valorada en $G$ que toma un vector tangente a su campo invariante a la izquierda (pensado como un elemento de ${\rm Lie}(G)$ ).

En fin, mi pregunta es: ¿existe un "espacio" (de algún tipo) que clasifique $G$ -bundles over $M$ con conexiones? Con esto quiero decir que los datos de dicho paquete deberían ser los mismos (hasta ...) que un mapa $M \to $ este espacio. La categoría de $G$ -torsors tiene casi razón, pero entonces el mapa no viene de $M$ sino de su espacio de trayectoria de homotopía fina.

Por favor, vuelva a etiquetar como desee.

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Niyaz Puntos 16307

Hay una respuesta estúpida que es que las clases de equivalencia de los paquetes G con conexión en M son las mismas que las clases de homotopía de los mapas $M \to BG$ . Esto es así siempre que dos haces G con conexión se consideren equivalentes si tienen el mismo haz principal subyacente. Esto no pretende ser una respuesta seria, sólo señalar que tu pregunta no está exactamente bien planteada.

Pero más en serio, hay una pila que representa paquetes de G-principales con conexiones. Incluso tiene una bonita forma:

$$ Bun_G^\nabla = [ \Omega^1( - ; \mathfrak{g}) / G]$$

Mapas de M a esta pila son principales paquetes G con conexión.

El problema de esta pila es que no es presentable . No está cubierto por un colector. Se puede describir como una pila de cocientes, pero lo que se actúa es la gavilla $\Omega^1(-; \mathfrak{g})$ de las 1 formas valoradas por el álgebra de Lie. Se trata de una especie de colector generalizado (en un sentido amplio), pero esta gavilla no es representable (¡gran ejercicio!).

Si fuera una pila presentable, entonces podríamos tomar su espacio clasificatorio (hay varias formas de hacerlo, por ejemplo, tomar la realización de la variedad simplicial obtenida por productos de fibra iterados de la variedad de cobertura). Las clases de homotopía de los mapas a este espacio podrían entonces relacionarse con ciertas clases de isomorfismo de los mapas a la pila. Pero como $Bun^\nabla_G$ no es presentable estamos un poco atascados.

Podrías preguntar, bueno, ¿qué pasa si reemplazo $\Omega^1(-; \mathfrak{g})$ con un espacio topológico honesto que es la mejor aproximación a él (para los mapas en él). Pues bien, resulta que el espacio que mejor se aproxima $\Omega^1(-; \mathfrak{g})$ es el punto. Así se obtiene el espacio clasificatorio de la pila $[pt/G]$ que es el BG habitual.

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Bob Puntos 34449

Para añadir a la respuesta de Chris, ya que el espacio de las conexiones es contractible, si se busca un espacio que clasifique los haces-con-conexiones wrt clases de homotopía de mapas en él, entonces no tienes suerte: o bien $BG$ si quieres un espacio adecuado, o la pila si estás dispuesto a aceptar algo más general.

Pero si trabajas en una categoría diferente, entonces puedes conseguir más. Tengo un vago recuerdo de que me dijeron que $BG$ clasifica haces-con-conexión si se trabaja con todo el tipo de homotopía del espacio de mapeo $Map(X,BG)$ en lugar de sólo $\pi_0$ de la misma (que es lo que se obtiene si se toman clases de homotopía de mapas). No estoy muy seguro de cómo darle un sentido completo a esto, pero tal vez algún alma bondadosa intervenga en los comentarios y nos ilumine.

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BloodPhilia Puntos 196

Debería haber una respuesta a la pregunta de Theo en términos de conexiones universales, pero no la conozco.

Esta conexión universal es una conexión en el principal universal $G$ -Acabar con el paquete $BG$ , de tal manera que cada $G$ -con conexión a través de $M$ es isomorfo (como haz con conexión) al pullback de $EG$ a lo largo de algún mapa $M \to BG$ .

Nunca he encontrado una respuesta a la siguiente pregunta inmediata: ¿cuál es la relación de equivalencia correcta en el espacio de mapas de $M$ a $BG$ , tal que las clases de equivalencia de los mapas están en correspondencia uno a uno con las clases de isomorfismo de $G$ -bundles con conexión a través de $M$ . ¿Alguien lo sabe?

Además, quería comentar que $G$ -Los paquetes con conexión son no son los mismos que los funtores suaves en el grupo de caminos finos de $M$ . Suponiendo una suavidad global, sólo se obtendrán conexiones en paquetes trivializables. La historia completa está aquí: http://arxiv.org/abs/0705.0452 .

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