Dejemos que $G$ sea un grupo (tal vez de Lie), y $M$ un espacio (quizás un colector). Entonces un principal $G$ -Acabar con el paquete $M$ es un conjunto $P \to M$ en el que $G$ actúa (mediante mapas preservadores de fibras), de modo que cada fibra es una $G$ -torsor (a $G$ -es isomorfa, aunque no canónicamente, a la acción de $G$ sobre sí mismo por multiplicación). Un mapa de $G$ -bundles es un mapa de bundles que juega bien con las acciones.
Entonces sé más o menos lo que el espacio de clasificación de $G$ es: es algún paquete $EG \to BG$ que es universal en la categoría de homotopía de (principal) $G$ -fondos. Es decir, cualquier $G$ -bundle $P \to M$ tiene un mapa (único hasta la homotopía) $P\to EG$ y $M \to BG$ y a la inversa, cualquier mapa $M\to BG$ (hasta la homotopía) determina un haz (único hasta el isomorfismo) $P \to M$ y tirando hacia atrás el cuadrado obvio.
Al menos, así es como creo que funciona. La descripción de Wikipedia de $BG$ está aquí.
Por lo tanto, dejemos que $G$ sea un grupo de Lie y $M$ un colector liso. En un $G$ -bundle $P \to M$ Puedo pensar en conexiones . Como siempre, una conexión debe determinar para cada trayectoria suave en $M$ a $G$ -torsor isomorfismo entre las fibras sobre los extremos del camino. Así que, en particular, un haz-con-conexión es un functor (suave) del espacio de trayectorias de $M$ a la categoría de $G$ -torsores. Pero no todas son conexiones: el valor de la holonomía a lo largo de un camino es un invariante hasta la "homotopía fina", que es esencialmente la homotopía que no se aleja de la imagen de la curva. Por lo tanto, se podría decir que un haz-con-conexión es un functor suave del espacio de la trayectoria de homotopía fina.
Más práctico, una conexión en $P \to G$ es un ${\rm Lie}(G)$ -una forma valorada en $P$ que es (1) invariable bajo la $G$ y (2) restringe en cada fibra a la acción canónica ${\rm Lie}(G)$ -una forma valorada en $G$ que toma un vector tangente a su campo invariante a la izquierda (pensado como un elemento de ${\rm Lie}(G)$ ).
En fin, mi pregunta es: ¿existe un "espacio" (de algún tipo) que clasifique $G$ -bundles over $M$ con conexiones? Con esto quiero decir que los datos de dicho paquete deberían ser los mismos (hasta ...) que un mapa $M \to $ este espacio. La categoría de $G$ -torsors tiene casi razón, pero entonces el mapa no viene de $M$ sino de su espacio de trayectoria de homotopía fina.
Por favor, vuelva a etiquetar como desee.