$A$ es un $3\times3$ la forma de Jordan de $A^2$ es $$ \begin{pmatrix} 25 & 1 & 0\\ 0 & 25 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ Encuentra el polinomio característico, el polinomio mínimo y la forma de Jordan de $A$ si $A$ sólo tiene valores propios negativos.
Hasta ahora lo he conseguido:
$P_{A^2}(X)=(x-25)^2(x-1)$ por Cayley Hamilton:
$P_{A^2}(A^2)=(A^2-25I)^2(A^2-I)=[(A-5I)(A+5I)]^2(A-1)(A+1)=0$
Por lo tanto, $[(A-5I)(A+5I)]^2(A-1)(A+1)$ se divide por el polinomio mínimo de $A$ y dados todos los valores propios de $A$ son negativos lo que significa que es uno de: $(x+1), (x+5), (x+5)(x+1), (x+5)^2(x+1), (x+5)^2$ .
Si $A$ es una matriz diagonalizable existe una matriz $M$ así que $D=M^{-1}AM$ y $D$ es una matriz diagonal, sin embargo, por esta ecuación también obtenemos $D^2=M^{-1}A^2M$ Por supuesto. $D^2$ también es diagonal, lo que significa que $A^2$ es diagonalizable en contradicción con el hecho de que la forma de Jordan de $A^2$ no es diagonalizable.
Por lo tanto, el polinomio mínimo de $A$ no es un producto de factores lineales distintos, lo que nos deja con $(x+1), (x+5), (x+5)^2(x+1), (x+5)^2$ .
No puedo averiguar cómo eliminar las otras opciones, sé que las dos primeras opciones y la última son incorrectas porque si el único valor propio de $A$ es $-1$ entonces el $25$ no puede ser un valor propio de $A^2$ Pero no sé cómo demostrarlo (no hay ninguna prueba en nuestro libro en relación con los valores propios y la potencia de las matrices). Gracias.
