Todo subconjunto abierto $O \subseteq \mathbb{R}$ es una unión de intervalos abiertos.

Question

El teorema:

Todo subconjunto abierto $O \subseteq \mathbb{R}$ es una unión de intervalos abiertos.

El problema pide un método de prueba particular:

"Completa la prueba demostrando que $O = \displaystyle\bigcup_{x \in O} (x - r_x, x + r_x)$ ."

Mi trabajo:

Por la definición de abierto, sabemos que, para todo $x \in O$ existe un $r_x > 0$ tal que $(x - r_x, x + r_x) \in O$ . Dado que esto es cierto para todos los $x \in O$ entonces $O$ es precisamente la unión de todos esos intervalos. Así, tenemos $O = \displaystyle\bigcup_{x \in O} (x - r_x, x + r_x)$ .

Mi pregunta:

¿Funciona esto? El resultado parecía obvio y la prueba trivial, lo suficiente como para ponerme nervioso y pensar que debía de haber formulado una pregunta en alguna parte.

Answer 1

Dos cuestiones:

1. Posiblemente sea una errata, pero debería ser $(x-r_x,x+r_x) \subseteq O$ donde ha escrito $\in$
2. Formalmente, su argumento, tal y como está escrito, sólo debería concluir $\bigcup_{x\in O} (x-r_x,x+r_x) \subseteq O.$ Un simple argumento [que debe incluir] muestra la otra inclusión.