(Suponiendo que los anillos sean conmutativos con la identidad, si no la afirmación es falsa).
Como dice Norbert, sus dos hechos útiles se combinan inmediatamente para decir que el conjunto de elementos nilpotentes es igual a la intersección de los ideales primos que contienen el ideal $\{0\}$ y eso significa todos los ideales primos.
En primer lugar, tengo que demostrar que los elementos nilpotentes son de hecho un ideal
Claro, esto es posible, aunque no es necesario. Puedes encontrar cómo hacerlo en otras preguntas del sitio, empezando por aquí El conjunto de todos los elementos nilpotentes es un ideal
y luego tengo que mostrar que es primordial.
Eso... no está en la pregunta en absoluto. Demostrar que algo es igual a una intersección de ideales primos no significa que él mismo sea primo. La mayoría de las veces, el ideal de elementos nilpotentes no es primo.
No sé cómo hacer que esta prueba fluya y qué lleva exactamente a qué.
De acuerdo, es justo. El esquema de la prueba es: demostrar que los dos conjuntos son iguales mostrando que cada uno es un subconjunto del otro.
Por un lado, cada elemento nilpotente está contenido en cada ideal primo. Así, los elementos nilpotentes están en la intersección de los primos.
La otra dirección es un poco más difícil, y normalmente utilizamos un lema: todo ideal máximo respecto a ser disjunto de un subconjunto multiplicativo de R es un ideal primo de R. Utilizando esto, podemos mostrar que para cada elemento no-potente, hay un ideal primo disjunto de las potencias de ese elemento, y por tanto el primo no contiene al elemento. Esto muestra cómo los no-potentes se excluyen de la intersección, de modo que todo lo que hay es nilpotente.
Como corolario, se obtiene que los nilpotentes forman un ideal, y no es realmente necesario demostrarlo de antemano.
