Hay alguna posibilidad de hacer divergentes suma con $\sum_{k=1}^{\infty}\exp(\sqrt k) $?

Question

Auto-estudio de algunas propiedades de la exponencial de la función me vino a la cuestión de las formas de asignar un valor a la divergentes suma $$s=\sum_{k=1}^{\infty}\exp(\sqrt k) $$ no tengo idea de cómo atacar este con los métodos estándar (no conozco muchos).

He intentado un reemplazo con invertir el orden de la suma de al $s$ se expresa como el doble de la suma y la introducción de zeta negativo de la mitad-valores enteros. Escribí el doble de la suma como $$ \begin{array} {rr} s &=& \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{k^{j/2}}{j!} &=& \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\sum_{k=1}^{\infty} k^{j/2}}{j!} &=& \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\zeta(-j/2)}{j!} \end{array}$$

Con este Pari/GP me da acerca de $ s=-0.753717005339 $ .

Por otra parte tengo la curiosidad de si tengo que ampliar el índice de a $-2$ para obtener formalmente $$s = -1 + 0 + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\zeta(-k/2)}{k!}$$ where I've set $\frac{\zeta(0.5)}{(-1)!} = 0 $ and $\frac{\zeta(1)}{(-2)!} =\frac{(-1)!}{(-2)!} =-1 $ para llegar a $ s_1=-1.753717005339 $

Pero esto es sólo un tiro en la oscuridad. He probado con otro truco que funciona en algunas circunstancias, la suma de la alternancia de la serie en primer lugar, y, a continuación, agregue un alternando parcial de la serie, etc, como $$s=\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \exp(\sqrt k) + 2*\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \exp(\sqrt{ 2 k}) + 4*... $$ pero esto no ayuda, ya que todas las cantidades son positivas y tengo otra divergentes y monotonuously aumento de la secuencia de sumas parciales. Uno de los problemas es, que las sumatorias no suma divergentes de la serie si todos los sumandos son positivos y también aumentan, por lo que mis herramientas estándar fallan aquí.

P: ¿de qué otra manera podría suma de la serie?

[edit]: las Cosas se empiezan a complicar... traté de otro enfoque y consiguió un resultado con un sospechoso entero de diferencia. Miro a la formal powerseries $$ g(x) = \exp(\sqrt{1+x}-1) = 1 + g_1 \frac{x}{1!}+ g_2 \frac{x^2}{2!}+ \ldots $$ y $$ \begin{array} {ll} t&=&e*(g(0)+g(1)+g(2)+g(3)+...) \\\ &=& e*g(0) + e*(g(1)+g(2)+g(3)+\ldots) \\\ &=& e*g(0)+e*t_1 \end{array} $$
Luego, por el mismo principio de la reordenación de la sumatoria de la formal doubleseries tenemos otra suma de los zetas, pero ahora en el entero negativo argumentos $$ \begin{array} {ll} t_1 &=& g(1)+g(2)+\ldots \\\ &=& 1*\zeta(0)+g_1*\frac{\zeta(-1)}{1!} +g_2*\frac{\zeta(-2)}{2!}+\ldots \end{array} $$ si que reordenación tiene sentido.
Lo interesante es que el valor que obtengo por esto es $t=1.246282994682$ donde curiosamente $s=t-2$ . Esto todavía no se confirma un valor sobre el otro. Pero tener solo un simple entero de diferencia parece decirle, que en principio estos caminos de la computación no son totalmente sin sentido (?)

[Edit2]: el uso de Ramanujan-suma, como se muestra en la wikipedia-link llego a la misma último valor de alrededor de $1.2462$ que es de nuevo $s+2$. Lo que me intriga es que estoy acostumbrado a valores negativos para divergentes sumas de aumento de positiv términos. ¿Se me olvida algo en el Ramanujan-fórmula? He utilizado la fórmula $$C(a) = \int_0^a f(t) dt - \frac12 f(0) - \ldots $$ where I insert my $g(x)$ above for $f(x)$ using $a=0$ (y por lo tanto la integral plazo es cero). [Edit3]: parece que el método en [edit1] es sólo el Ramanujan-método por el cual los Bernoulli-los números son traducidos a los respectivos zeta-valores [Edit4]: yo tenía que corregir la suma de la fórmula; la factoriales tuvo que ser retirado
A continuación, la wikipedia-la fórmula de lee $$C(a) = \int_0^a f(t) dt + \sum_{k=0}^{\infty} \zeta(-k) \frac{f^{(k)}(0)}{k!} $$ Because we have a power series, the k'th derivative $f^{(k)}(0)=f_k*k! $ and we can replace this in the formula, cancelling the factorial. Furtherly I had used the function g(x), so $$ t=e + e*\sum_{k=0}^{\infty} \zeta(-k) g_k $$ should equal $s$ . Desafortunadamente, esto también es una divergente suma, pero puede ser de Euler-/Borel-resumió.
Curiosamente, la integral plazo $ \int_a^b f(t) dt $, nos da el número misterioso 2 : $$ e*\int_{-1}^0 g(t) dt = \int_{0}^1 \exp(\sqrt{t}) dt = 2 $$ de acuerdo a wolfram-alpha .
Con esto parece que se puede utilizar el mucho mejor summable (si no convergente) de la serie $$ s=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\zeta(-j/2)}{j!} $$ y determinar que Ramanujan-summ $$ t = \int_{0}^1 \exp(\sqrt{t}) dt + s $$

[Edit5] parece que la posibilidad para los cálculos es coherente para otros exponentes en la serie básica. Si me generalizar $$ \begin{array} {rr} S_q &=& \sum_{k=1}^{\infty} \exp(k^q) \\ g_q(x) &=& \exp((1+x)^q-1) &=& \exp((1+x)^q)/e \\ Ca_q &=& \int_0^1 \exp(x^q) \end{array} $$ y $t_q$ $s_q$ respectivamente, luego de algunos positivo fraccional q puedo obtener los siguientes resultados. $$ \pequeño{ \begin{array} {rrrr} q& t_q & Ca_q & & s_q & C_q(0) \\ 1.00000000000 & 1.13630512159 & 1.71828182846 &(= 1e - 1) & -0.581976706869 & 1.13630512286 \\ 0.500000000000 & 1.24628299466 & 2.00000000000 &(=- 0e + 2)& -0.753717005339 & 1.24628299491 \\ 0.333333333333 & 1.28422772983 & 2.15484548538 &(= 3e - 6)& -0.870617755549 & 1.28422772997 \\ 0.250000000000 & 1.30316006154 & 2.25374537233 &(=-8e + 4!) & -0.950585310784 & 1.30316006162 \\ 0.200000000000 & 1.31447347236 & 2.32268228066 &(=45e - 5!)& -1.00820880830 & 1.31447347240 \\ 0.166666666667 & 1.32198952281 & 2.37359728681 &(=-264e + 6!)& -1.05160776400 & 1.32198952284 \\ 0.142857142857 & 1.32734318867 & 2.41279179153&(=1855e - 7!) & -1.08544860285 & 1.32734318869 \\ 0.125000000000 & 1.33134949700 & 2.44392029544 &(=-14832e + 8!)& -1.11257079844 & 1.33134949702 \\ 0.111111111111 & 1.33445988876 & 2.46925379716 &(=1334978e - 9!)& -1.13479390840 & 1.33445988878 \\ 0.100000000000 & 1.33694450266 & 2.49028031297 &(=-A240(10)e + 10!)& -1.15333581032 & 1.33694450267 \\ 0.0909090909091 & 1.33897484256 & 2.50801667035 &(=A240(11)e - 11!)& -1.16904182779 & 1.33897484257 \\ 0.0833333333333 & 1.34066501173 & 2.52318189730 &(=-A240(12)e + 12!)& -1.18251688557 & 1.34066501173 \end{array} } $$ donde $t_q$ en la segunda columna es la supuesta suma calculada por el método de $ t_q = Ca_q + s_q $ . El $A240(k)$-las entradas se encuentran también en la secuencia A000240 en OEIS principio en $k=1$.

La última columna es el mismo resultado calculado por el Ramanujan suma $C(0)$ como se indica en la wikipedia el artículo (y mi traducción en la $g_q()$-función). Que los términos son siempre un divergentes de la secuencia de sumas parciales, por lo que su Euler-suma se documenta aquí para la comparación de la precisión.

Una parcela de $q$ $t_q$ parece un casi lineal (negativo) la relación.

Es todavía abierto, que valor ($t_q$ o $s_q$) debe ser tomado como la suma final.

Tenga en cuenta que el uso de $q=1$ deberíamos $ S_1 = e^1 + e^2 + e^3 + ... = \frac{e}{1-e} \approx -1.58197670687 $ donde sólo $s_q$ está en la cerca (se pierde por 1).
El $t_q$ valor $q=1$ sin embargo parece oscuro; el valor correcto sería $ S_1 = t_q - e = \frac{e}{1-e} $ . Aquí no sé lo que esto nos dice?

Answer 1

Creo que quiere que Ramanujan suma. (y creo que te da las mismas respuestas que ya tenemos)

Answer 2

Hmm, yo estoy respondiendo yo mismo con la mejor hipótesis - yo creo que lo tengo ahora.

+++Yo tenía que corregir el cálculo-procedimiento, todos los datos anteriores se sustituyen+++

Una visión más clara fue posible después de que la generalización del problema, en la que no sólo considere la raíz cuadrada de la ejecución del exponente, pero sólo una potencia fraccionaria $q$ : $$S(q) = \exp(1^q) + \exp(2^q) + \exp(3^q) + \ldots \ \ \ \ 0<=q<=1$$ Luego tenemos también dos parámetros $q$ para el cual las soluciones son conocidas: para $q=1$ tenemos la serie geométrica con cociente $e$ $q=0$ tenemos $e*\zeta(0)$
$$ S(0) = e^1 + e^1 + e^1 + e^1 + \ldots = e*\zeta(0) \approx -1.3591 $$ $$ S(1) = e^1 + e^2 + e^3 + e^4 + \ldots = \frac{e}{1-e} \approx -1.5819 $$ Voy a denotar $$f_q(x) = exp(x^q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{q*k}}{k!}$$ y $$g_q(x)= \exp((1+x)^q-1)=\exp((1+x)^q)/e =f_q(x+1)/e = \sum_{k=0}^{\infty} g_k\frac{x^{q*k}}{k!}$$ .

El Ramanujan-suma se aproxima a lo que los valores de bien, así que lo uso como solución de referencia. Para notacional facilidad que reescribir la wikipedia fórmula en términos de zeta en lugar de los números de Bernoulli y los derivados de la $f$ cancelado por el factoriales tal que sólo los coeficientes $f_k$ permanezca; de modo que $$ C(a) = \int_0^a f_q(t)dt + \sum_{k=0}^{\infty} \zeta(k)f_k $$ Denote the integral with a name: $c_{q} =\int_0^un f_q(t)dt$

Ahora, debido a que la derivada de $f$ a cero es infinito, podemos usar la representación del g-coeficientes: $$ C(a) = c_{q,a} + e*\sum_{k=0}^{\infty} \zeta(k)g_k $$ Ahora debemos usar $C(0)$ para el Ramanujan-suma, por lo $c_{q,a}$ se desvanece y $$ R(q) = e*\sum_{k=0}^{\infty} \zeta(k)g_k $$

Por desgracia, la suma aún no convergen, por lo que la expresión debe ser de nuevo hacerse con un divergentes suma del procedimiento. Con esa suma puedo obtener buenas aproximaciones de los valores de referencia $$ \begin{array} {rlll} R(0) &\approx& -1.3591...&=& S(0)\\ R(0.5) &\approx& -1.4719988...&???& S(0.5) \\ R(1) & \approx & -1.5819... &=& S(1) \end{array}$$ donde $R(0.5)$ es un nuevo valor para el divergentes suma $ S(0.5)=\sum_{k=1}^{\infty} e^{\sqrt k}$.

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El divergentes suma de los $R()$-cálculo puede ser sustituida por la adaptación de mi primera describe suma-método. Cambiando la suma de orden en la doble serie de $S(q)$ I llegar a una expresión formal $$s_0(q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\zeta(-kq)}{k!} $$
Con este Pari/GP me da acerca de $ s_0(1/2)=-0.753717005339 $ .

Dos correcciones parecen identificar esto con el $R(q)$-sumas; la integral de la $c_a$ y una instancia de $e$: $$ G(q) = c_{1,q} - e + s_0 $$

Por desgracia todavía no he entendido, ¿por que las correcciones específicas se requiere.

-- Aquí está una parcela para la $s(q)$ donde $q=0 \ldots 1.5 $ (la mostrada anteriormente parcela tenía mal los datos y es sustituido)

(La línea no es perfectamente lineal)