Hoy me he encontrado con el siguiente problema en mi investigación. Me gustaría encontrar una función $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ tal que $$ 0 = \frac{d f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{d a}\bigg|_{c_1,c_2,\ldots,c_n} \iff \forall i: 0 = \frac{d x_i}{d a}\bigg|_{c_1,c_2,\ldots,c_n} $$ Supongamos que todas las funciones se comportan bien. No encuentro ninguna, y creo que es imposible, pero no veo por qué?
Respuesta
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"Comportarse bien" debe significar, entre otras cosas, que $f$ tiene un gradiente $\displaystyle(\nabla f)(x_1,\ldots,x_n)$ .
Se trata de un vector en $\mathbb R^n$ asignado a cada punto $(x_1,\ldots,x_n)$ en el ámbito de $f$ . Hay una regla de la cadena que dice
$$ \frac{df}{da} = ((\nabla f)(x_1,\ldots, x_n))\cdot \frac d {da} (x_1,\ldots,x_n) $$ donde el producto es el habitual producto punto de vectores. (Y esta regla de la cadena se cumple cuando $f$ "se comporta bien", como probablemente lo haría en las aplicaciones físicas).
El producto punto es cero si los dos vectores son perpendiculares entre sí. Esto significa que si $(x_1,\ldots,x_n)$ se mueve como $a$ cambia, en una dirección en ángulo recto con el gradiente, entonces $df/da$ es cero aunque $(d/da)(x_1,\ldots,x_n)$ puede estar muy lejos de cero.
