Una pregunta sobre la integral indefinida de una función y la propiedad a.e.

Question

$\textbf{Problem}$ Dejemos que $L=L(X,\textbf{X},\mu)$ denotan el conjunto de todas las funciones integrables. Supongamos que $f$ pertenece a $L$ y que su integral indefinida es $$\lambda(E)=\int_{E} f d\mu, E\in \textbf{X}.$$ Demuestra que $\lambda(E)\geq 0$ para todos $E\in\textbf{X}$ si y sólo si $f(x)\geq 0$ para casi todos los $x \in X$ .

$\textbf{Solution}$ Supongamos que $f(x)\geq 0$ para casi todos los $x\in X$ . Elige cualquier conjunto $E\in\textbf{X}$ . Hay que tener en cuenta dos casos. Si $f(x)\geq 0$ para todos $x\in E$ entonces $f^{+}\chi_{E} \geq f^{-}\chi_{E}$ . Por lo tanto, $\int_{E} f^{+} d\mu \geq \int_{E} f^{-} d\mu$ por lo tanto, $$\lambda(E)=\int_{E} f d\mu =\int_{E} f^{+} d\mu - \int_{E} f^{-} d\mu \geq 0.$$ Si existe un $x\in E$ tal que $f(x)<0$ entonces porque $f(x)\geq 0$ para casi todos los $x\in X$ , $E$ debe tener medida cero. Dado que, en este caso, ambas funciones $f^{+}\chi_{E}$ y $f^{-}\chi_{E}$ sería $0$ en casi todas partes, sus integrales son cero. Por lo tanto, $\lambda(E)=\int_{E} f d\mu = 0$ .

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Tengo problemas para probar la otra dirección. Quiero elegir cualquier conjunto $E$ en nuestro $\sigma$ -Álgebra X y demostrar que (1) si $E$ hace no tienen medida cero, entonces debemos tener $f(x)\geq 0$ y (2) si $E$ hace tienen medida cero, entonces no podemos determinar nada sobre $f(x)$ .

Creo que tengo (2). Sólo tengo dudas sobre (1). Una pista sería genial. Gracias.

Answer 1

Para la primera parte, lo que se utiliza implícitamente es que si $\mu(N)=0$ entonces para cada función integrable $f$ , $\int_Nf\mathrm d\mu=0$ .

Para la inversa, como sugirió Did, fijar un positivo $n$ . Con la elección $E:=\{x,f(x)\leqslant -1/n\}$ obtenemos $$0\leqslant\lambda(E)=\int_Ef(x)\mathrm d\mu\leqslant -\frac 1n\mu(E).$$ Como $\mu$ es una medida positiva, $\mu(E)=0$ . Ahora, fíjate que $\{f<0\}=\bigcup_{n>0}\{x,f(x)\leqslant-\frac 1n\}$ una unión contable de conjuntos de medida $0$ .