Ecuación de los círculos si se conocen dos puntos.

Question

Esto es un intento de aclarar una pregunta que tengo.

$P$ puede estar en cualquier parte del círculo. $P_1,P_2$ están ahí para mostrar los dos únicos ángulos, $\theta$ y $180-\theta$ entre $\vec{u}$ y $\vec{v}$ . $\vec{u}=\vec{QP}, \vec{v}=\vec{SP}$

Esta es la ecuación del círculo con una $\lambda$ cuando se conocen S y Q: $$\vec{u}\cdot\vec{v}-\lambda(\vec{u}\times\vec{v})=0$$ Esto se puede demostrar si se calcula con los valores x e y específicos: $$x^2-(x_1+x_2+\lambda[y_1-y_2])x+y^2-(y_1+y_2+\lambda[x_2-x_1])y+x_1x_2+y_1y_2-\lambda(x_1y_2-x_2y_1)=0$$

Puedo ver claramente que es una ecuación para un círculo con el centro en $(\frac{x_1+x_2+\lambda(y_1-y_2)}{2}, \frac{y_1+y_2+\lambda(x_2-x_1)}{2})$ , donde $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ es el punto medio de $\vec{QS}$ , y $\frac{\lambda}{2}\begin{bmatrix}y_1-y_2\\x_2-x_1\end{bmatrix}$ es un vector perpendicular a $\vec{QS}$ .

Mi problema es que $$\vec{u}\times\vec{v}=\sin{\theta}|\vec{u}||\vec{v}|$$ $$\vec{u}\cdot\vec{v}=\pm\cos{\theta}|\vec{u}||\vec{v}|$$ dependiendo de que el ángulo entre los vectores sea $\theta$ o $180-\theta$ . ¿Cómo puede $$\vec{u}\cdot\vec{v}-\lambda(\vec{u}\times\vec{v})=0\Leftrightarrow\pm\cos{\theta}-\lambda\sin{\theta}=0\Leftrightarrow\pm1-\lambda\tan{\theta}=0\Leftrightarrow\lambda\tan{\theta}=\pm1$$ representan un circlero único para $\theta\not=90\Leftrightarrow\lambda\not=0$ . El $\pm1$ nos da dos círculos posibles ¿no?

Answer 1

Mediante la traslación y la rotación, podemos adoptar un sistema de coordenadas en el que $Q$ es el origen y $S$ se encuentra en el $y$ -eje. La intuición es que entonces podemos elegir el $x$ -eje a la derecha, o reflejarlo a la izquierda. Así podemos obtener dos círculos.

En términos de la ecuación, tenemos $x_1 = x_2 = y_1 = 0$ así que $$ x^2 + \lambda y_2 x - y_2 y + y^2 = 0 $$ o $$ \left( x + \frac{\lambda y_2}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{ y_2 }{2} \right)^2 = r^2 $$ donde $r$ acumula los términos constantes. Los dos círculos surgen de $\lambda > 0$ frente a $\lambda < 0$ .

Tenga en cuenta que $$ \vec{u} \times \vec{v} = \sin(\theta) | \vec{u} | |\vec{v} | $$ si $\theta$ es el ángulo desde $\vec{u}$ a $\vec{v}$ en el rango de 0 grados a 360 grados. Así que si quiere restringir $\theta$ a ser agudo entonces hay un $\pm$ (al igual que el producto punto).