Cómo calculamos el valor de $2^\pi$ sin usar la calculadora

Question

Cómo calculamos $2^\pi$ Ya que $\pi$ es irracional ¿cómo lo calculo? y ¿podemos escribir $$(2^\pi)(2^\pi)=(2^\pi)^2$$ y si es así cuál será la condición, ya que $\pi$ es irracional no.

Answer 1

$$A=2^\pi=2^3\, 2^{\pi-3}=8 \, 2^{\pi-3}=8\, \exp\big[(\pi-3)\log(2) \big]$$ Ahora, para los pequeños $x$ una buena aproximación es $$e^x=\frac{2+x}{2-x}$$ y $(\pi-3)\log(2)\sim 0.098$ $$A\sim 8 \,\frac{2+0.098}{2-0.098}=\frac{8392}{951}\sim 8.8244$$ mientras que el resultado exacto es $8.8250$ .

Answer 2

Si $n$ es un número entero positivo:

• $2^n$ significa el producto de $n$ copias de $2$ ,
• $2^{-n}$ significa $(2^n)^{-1} = (2^{-1})^n$ (¿por qué son el mismo número?),
• $2^{\frac 1n}$ significa $\sqrt[n]{2}$ y
• $2^{-\frac 1n}$ significa $(2^{\frac 1n})^{-1} = (2^{-1})^{\frac 1n}$ (de nuevo, ¿por qué?).

También, $2^0$ es $1$ . Ahora bien, si $p$ y $q$ son dos enteros con $q \neq 0$ , $2^{\frac pq}$ significa $(2^{\frac 1q})^p = (2^p)^{\frac 1q}$ (?). Con todo esto, sabemos el valor de $2^r$ para cualquier número racional $r$ ¿cierto? Por último, si $x$ es un número real, elija una secuencia de números racionales $r_1,r_2,\dots$ tal que $\lim_n r_n = x$ y luego $2^x$ significa $\lim_{n} 2^{r_n}$ .

Answer 3

1. Para responder a su pregunta motivadora ("¿Cómo podemos visualizar $2^\pi$ ? ¿Cómo podemos entenderlo?") en el cuarto comentario bajo la pregunta principal:

$\\ a^x$ se define como $e^{x\ln a}$ para todos los positivos $a$ y real $x$ .

$e^y$ se define como $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac y{n}\right)^n$ para todos los reales $y$ .

Por lo tanto, por definición , $$2^\pi=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac {\pi\ln 2}{n}\right)^n.$$ De forma equivalente (a partir de la expansión en serie de potencias de $e^{\pi\ln 2}$ ), $$2^\pi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\pi\ln 2)^n}{n!}.$$

2. Introduciendo las expansiones en serie de las potencias de $(4\arctan1=)\pi$ y $\ln 2$ da \begin{equation} \begin{split} 2^\pi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{n!}&\left[4\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac1{2n+1}\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac1{n}\right)\right]^n \\ =1+\frac11&\left[4\left(\frac 11-\frac 13+\frac 15-\ldots\right)\left(\frac 11-\frac12+\frac13-\dots\right)\right] \\ +\frac 1{2!}&\left[4\left(\frac 11-\frac 13+\frac 15-\ldots\right)\left(\frac 11-\frac12+\frac13-\dots\right)\right]^2 \\ +\frac 1{3!}&\left[4\left(\frac 11-\frac 13+\frac 15-\ldots\right)\left(\frac 11-\frac12+\frac13-\dots\right)\right]^3 \\ +\ldots. \end{split} \end{equation} Esto nos permite, en teoría, estimar $2^\pi$ Sin embargo, la convergencia es demasiado lenta para ser útil en la práctica.

Answer 4

Aquí se hará uso de la aproximación del cálculo mediante diferenciales

$$ y= 2^x \\ \ln\ y = x\ln\ 2 \\ \frac{1\ dy}{y\ dx}\ = \ln\ 2 \\ dy = y\ln\ 2\ dx \\ dy = 2^x \ln\ 2\ dx \\ $$ ahora utilizan un enfoque diferencial $$ \Delta y = 2^x\ln 2\ \Delta x $$ Ahora, utilizando $x=3, \ \Delta x = 0.14159265359$ vemos que $\Delta y=78159144782$ que se suma al valor original en $2^3=8$ es $8.781581$ que se acerca al valor, aunque no tanto como otros métodos mostrados aquí.