¿Cómo encontrar un "conjunto" después de conocer los axiomas de ZFC?

Question

Esta era una pregunta que tenía desde que empecé a estudiar matemáticas formales. Tomemos el ejemplo de ZFC, en él los axiomas nos dicen "pruebas" para comprobar si algo es una prueba o no y cómo se comportan los objetos, si son conjuntos, con algunas otras operaciones definidas sobre el conjunto.

Mi pregunta es cómo encontramos exactamente los objetos que cumplen estos axiomas. ¿Existe algún procedimiento formal para ello, o se trata sólo de conjeturas?

Answer 1

No, los axiomas de ZFC no nos dicen en absoluto cómo "comprobar si algo es un conjunto". Parece que estás imaginando una situación en la que tienes un objeto matemático y luego utilizas de alguna manera los axiomas de ZFC para comprobar si este objeto es un conjunto. Esta situación no existe. $^*$

Parece que estás confundiendo el estatus de los axiomas de una teoría como ZFC con los axiomas que definen, por ejemplo, un espacio vectorial. En el caso de los espacios vectoriales, se da un conjunto y dos operaciones que se afirma que son la multiplicación escalar y la suma vectorial. Para comprobar si se trata de un espacio vectorial, se comprueba si los axiomas que definen los espacios vectoriales se cumplen con estas operaciones.

En cambio, los axiomas de la ZFC son simplemente una lista, no necesariamente exhaustiva, de afirmaciones que consideramos verdaderas sobre los conjuntos. La mayoría de ellos nos dicen que un determinado conjunto existe si existen otros conjuntos, como el conjunto de potencias de un conjunto, o la unión de un conjunto de conjuntos, o un subconjunto de un conjunto definido por alguna fórmula. Si se quiere "encontrar objetos [que] cumplan estos axiomas", simplemente se parte de los conjuntos cuya existencia se postula y se aplican estas construcciones.

Por ejemplo, a partir del conjunto de enteros, se construye el conjunto de pares de enteros (utilizando el axioma de emparejamiento), visto como fracciones formales. Para obtener los racionales, se restringe a un cierto subconjunto de este conjunto (usando el axioma de especificación), digamos el conjunto de pares coprimos de enteros no nulos donde el segundo elemento es siempre positivo más el par $\langle 0, 0 \rangle$ . Para obtener los reales, se construye el conjunto de potencias de los racionales (utilizando el axioma del conjunto de potencias) y se restringe a ciertos conjuntos especiales de racionales correspondientes a cortes Dedekind (utilizando el axioma de especificación).

$^*$ "¿Qué pasa cuando demostramos que el conjunto de todos los conjuntos no existe en ZFC?" Eso es diferente a demostrar que algo es o no es un espacio vectorial. El "conjunto de todos los conjuntos" no es un objeto matemático válidamente especificado. No estás describiendo primero un objeto matemático legítimo y luego midiéndolo con los axiomas de ZFC para mostrar que no es un conjunto. Simplemente estás mostrando que no existe ningún conjunto que satisfaga una determinada descripción (es decir, que contenga todos los conjuntos).

Answer 2

¿Recuerdas cuando empezaste a aprender cálculo con cierto rigor? En algún momento se te presentó la idea de los límites. Exactamente qué conceptos de límites se te presentaron primero difiere de una persona a otra, pero una forma podría haber sido definir primero el límite de una función $f(x)$ en algún momento $a$ :

• $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$ .

Esta definición se utiliza luego para demostrar un montón de propiedades de los límites.

Pero entonces te presentaron los límites en el infinito, que necesitaban dos definiciones más:

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ si $\forall \epsilon > 0, \exists M, x > M \implies |f(x) - L| < \epsilon$ ,
• $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ si $\forall \epsilon > 0, \exists M, x < M \implies |f(x) - L| < \epsilon$ .

Y estas definiciones se utilizaron para demostrar prácticamente las mismas propiedades de antes, excepto por los nuevos límites.

Y entonces se introdujeron los límites unilaterales:

• $\lim_{x \to a+} f(x) = L$ si $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, a < x < a+\delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$ .
• $\lim_{x \to a-} f(x) = L$ si $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, a -\delta < x < a \implies |f(x) - L| < \epsilon$ .

Y estas definiciones se utilizaron para demostrar que el mismo grupo de propiedades también se mantiene para los límites unilaterales.

Y entonces se introdujo en los límites infinitos, donde el $L$ es $\pm\infty$ que duplica cada una de las definiciones anteriores dos veces más, con los cambios necesarios, y luego se utilizan para demostrar que casi el mismo grupo de propiedades también se mantienen para ellos.

Y luego hay secuencias ...

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Llega un momento en el que los matemáticos se cansan de demostrar una y otra vez las mismas cosas con pequeñas variaciones. Es entonces cuando inventan una nueva teoría. Observan todos los ejemplos con los que se han topado e intentan descubrir un esquema común en el que todos puedan encajar:

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para cada barrio $V$ de $L$ hay un vecindario $U$ de $a$ de manera que si $x \ne a$ y $x \in U$ entonces $f(x) \in V$ .

Todas las definiciones anteriores de los límites se ajustan al patrón con diferentes definiciones de "vecindad".

• Para los límites básicos, una vecindad de $a$ es un conjunto $(a-\epsilon, a + \epsilon)$ para algunos $\epsilon$ .
• Para los límites en el infinito y los límites infinitos, las vecindades de $\infty$ y $-\infty$ son $(M, \infty)$ y $(-\infty, M)$ para algunos $M$ .
• Para los límites unilaterales, los barrios $a$ son $[a,a+\epsilon)$ o $(a-\epsilon, a]$ dependiendo del lado que se busque.

Para demostrar las propiedades de los límites que queremos, necesitamos algunas condiciones sobre lo que cuenta como "vecindad":

• $a$ debe estar en cualquier vecindad de $a$ (si $a$ existe realmente, y no es una abreviatura de un concepto más complicado, como ocurre con $\pm\infty$ ).
• Si $a \ne b$ , entonces debería haber vecindades de $a$ y $b$ que no se cruzan.
• Si $U$ y $V$ son ambas vecindades de $a$ Entonces debería haber otro barrio $W$ de $a$ con $W \subset U \cap V$ .

A partir de estas propiedades, se produce una mayor generalización - por ejemplo, tal vez los barrios de $a$ y $b$ se puede permitir la intersección, hasta llegar finalmente a la teoría de la Topología.

En esta nueva teoría de la topología, ahora se pueden demostrar muchos resultados sólo a partir de los axiomas (que, por supuesto, cambiaron notablemente desde aquellos comienzos). Ya no hay que volver a hacer todas esas pruebas en cada espacio, ni en cada topología. Todo lo que se necesita ahora para tener todos esos poderosos conceptos como la continuidad y la conectividad y la compacidad, y todos esos poderosos teoremas están disponibles, una vez que se confirma que algún objeto particular que se está tratando de estudiar satisface esos axiomas de la topología.

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Ese es el error que comete. Estas teorías no se sacaron del culo de alguien y luego se pusieron a buscar objetos que satisficieran los axiomas. No. Empezaron con los objetos, e idearon la teoría para que se ajustara a sus necesidades.

Y cuando los estás aprendiendo, todavía no es tu propósito averiguar los objetos que se ajustan a los axiomas - aunque eso puede ser un ejercicio útil para asegurarte de que entiendes esos axiomas. Se te darán algunos ejemplos, por lo general inmediatamente después de exponer los axiomas, si no antes. Tu objetivo es averiguar qué se puede demostrar a partir de ellos.

Y más adelante, cuando tus estudios se encuentren con algún objeto, puedes entonces comprobar si ese objeto cumple los axiomas de la teoría. Y si es así, puedes aplicar todos los resultados de esa teoría a tu objeto sin tener que volver a desarrollarlo todo en este caso especial.

Los objetos fueron lo primero en la invención de la teoría. Los objetos también serán lo primero en cualquier aplicación de la teoría. Y cuando se desarrolla la teoría, se no quiere trabajar con algún objeto específico, porque si lo hace, sus resultados se aplicarán a ese objeto específico, y no a la teoría en su conjunto. Así, cuando en el futuro estudie algún otro objeto que cumpla los axiomas, esos resultados no se aplicarán necesariamente a él.