Barra rígida suspendida por dos cuerdas, ¿tensión de la primera cuerda después de cortar la segunda?

Question

Esto es de un examen práctico, llevo más de una hora sentado pensando en ello y no puedo convencerme de una respuesta, ni escribir ninguna ecuación exacta relevante.

Una barra de densidad uniforme $\rho$ , longitud $L$ y de anchura despreciable está suspendido por dos cuerdas inextensibles de masa despreciable.

Si se corta la segunda cuerda, ¿cuál es la tensión de la otra cuerda poco después del corte? ¿Cuál es la tasa de variación de la tensión?

He estado tratando de resolverlo con números $g=10 m/s^2$ , $\rho=30kg/m$ y $L=1m$ sólo para mantenerlo simple. Obviamente, antes de cortar la cuerda, la tensión de ambas cuerdas es $T_1 = T_2 = 150N$ y después de que la barra caiga y se quede quieta, entonces $T_1 = 300N$ por lo que hay alguna función suave de la tensión (creo). El ángulo entre la primera cuerda y la barra es $90\deg$ y aumenta a $180\deg$ y la fuerza debida a la gravedad puede dividirse en fuerzas normales y tangenciales. La fuerza normal aumenta el momento angular, y la fuerza normal es máxima en el momento en que se corta la cuerda. Me está costando unir todo esto, pero creo que voy por el buen camino. Gracias de antemano.

edit: Como se indica a continuación, se trata de la fuerza de los componentes de la gravedad $F_N = \rho Lg Sin(\theta )$ y $F_T = -\rho Lg Cos(\theta )$

Sigo teniendo problemas para aplicar los momentos angulares a este problema.

Answer 1

Supongamos que la varilla es horizontal

La suma de fuerzas es igual a la aceleración del centro de gravedad

$$ T - m g = m \ddot{y}_C $$

La suma de los momentos alrededor del centro de gravedad es igual al momento de inercia de la masa por la aceleración angular

$$ T \frac{L}{2} = I \ddot{\theta} $$

Al girar la barra un pequeño ángulo $\theta$ la altura del centro de gravedad se encuentra por $y = -\frac{L}{2} \theta$ o diferenciando dos veces, $\ddot{y} = -\frac{L}{2} \ddot{\theta}$

Todo junto se convierte en

$$ \begin{aligned} T & = m g - m \frac{L}{2} \ddot\theta \\ T \frac{L}{2} & = \left( \frac{m}{12} L^2 \right) \ddot \theta \end{aligned} $$

Resuelve lo anterior para $T$ y $\ddot{\theta}$ . Sugerencia el valor no tienen para ser más que $\frac{m g}{2}$ .