Relación entre la dimensión del espacio de Hilbert y la cardinalidad de su subconjunto denso

Question

Supongamos que $H$ es un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Sea $A$ sea un subconjunto denso de $H$ . Cómo demostrar que $\mathrm{dim}_{\mathrm{orth.}}\ H \le \mathrm{card}(A)$ ? ¿Cuando tenemos igualdad? Sólo necesito pistas.

Answer 1

Sugerencia: Si $A$ es denso entonces $$\bigcup_{a\in A}B(a,\sqrt 2/2)=H.$$ Por otro lado, si $(e_\alpha)$ es ortonormal entonces $$||e_\alpha-e_\beta||=\sqrt 2\quad(\alpha\ne\beta).$$

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Sugerencia sobre cuándo tenemos igualdad: Si $(e_\alpha)$ es un conjunto ortonormal completo y $D$ es un subconjunto denso contable del campo escalar, entonces el conjunto de combinaciones lineales (finitas) del $e_\alpha$ con coeficientes en $D$ es denso en $H$ .