¿Cuáles son los posibles conjuntos de grados de polinomios irreducibles sobre un campo?

Question

Esperemos que no sea un ejercicio demasiado fácil.

Dejemos que $F$ sea un campo. Sea $I \subset \mathbb{N}$ sea el conjunto de todos los enteros positivos $d$ tal que existe un polinomio irreducible de grado $d$ en $F$ . ¿Qué tipo de $I$ ¿puede ocurrir?

Por supuesto $1 \in I$ y, por supuesto, podemos tener $I = \mathbb{N}$ o $I = \{ 1, 2 \}$ o $I = \{ 1 \}$ . El teorema de Artin-Schreier implica (creo) que si $I$ es finito, entonces sólo se dan los dos últimos casos. Entonces, ¿qué tipo de infinito $I$ ¿puede ocurrir?

Editar: Por ejemplo, corrígeme si me equivoco, pero podemos obtener $I = \{ 1, p, p^2, ... \}$ para cualquier primo $p$ . Comience con $\mathbb{F}_l, l \neq p$ que tiene un grupo de Galois absoluto $\hat{\mathbb{Z}} = \prod_q \mathbb{Z}\_q$ y tomar el campo fijo $K$ de $\prod_{q \neq p} \mathbb{Z}\_q$ . Entonces $G_K = \text{Gal}(\overline{\mathbb{F}_l}/K) = \mathbb{Z}_p$ que (de nuevo, corregidme si me equivoco) tiene la propiedad de que sus únicos cocientes finitos son los grupos $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ . ¿Funciona esto?

Answer 1

Afirmación 1: La primera mitad de lo que dije en mis comentarios es correcta: para cada subconjunto $S$ de los números primos, existe un campo $F$ que tiene la propiedad de admitir un grado $d$ extensión de campo si $d$ es divisible sólo por primos en $S$ .

Como dice Qiaochu, esto se produce por la existencia de campos perfectos $K$ con grupo de Galois absoluto $\hat{\mathbb{Z}} = \prod_p \mathbb{Z}_p$ . En particular, tome el subgrupo cerrado $H_S = \prod_{p \not \in S} \mathbb{Z}_p$ y que $K_S = \overline{K}^{H_S}$ .
Podemos tomar $K$ para ser cualquier campo finito, o $\mathbb{C}((t))$ por ejemplo.

La parte de mi afirmación sobre el uso de $\mathbb{R}((t))$ para obtener la información exacta $2$ -la divisibilidad no me parece necesariamente correcta ahora. El problema es que el grupo de Galois absoluto de $\mathbb{R}((t))$ es una extensión no abeliana de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ por $\hat{\mathbb{Z}}$ : de hecho es la terminación profinita del grupo diédrico infinito.

En cuanto a lo que he dicho sobre lo contrario: ¡de ninguna manera, las cosas son definitivamente más complicadas que eso! Lo que tenía en mente era la observación "local" que por Artin-Schreier, para cualquier primo $p$ el Sylow- $p$ -del grupo de Galois absoluto es trivial, infinito o tiene orden $2$ . (El caso de la característica $p > 0$ hay que prestar un poco de atención por separado, pero no creo que haya ningún problema en ese sentido).

Sin embargo, los diferentes subgrupos de Sylow p no actuarán independientemente a menos que el grupo de Galois absoluto sea pronilpotente. (Nótese que el grupo diédrico profinito no es pronilpotente):

Afirmación 2: Si $K$ tiene la característica $0$ y grupo de Galois pronilpotente, entonces los órdenes posibles son exactamente los de la afirmación 1.

He aquí un ejemplo explícito para mostrar que la inversa de la afirmación 1 no es generalmente correcta: sea $F$ sea la máxima extensión soluble de $\mathbb{Q}$ . Entonces no tiene extensiones cuadráticas. Sin embargo, ciertamente tiene extensiones de grado par, ya que de lo contrario --¡por ejemplo, por Feit-Thompson! -- el grupo de Galois absoluto de $\mathbb{Q}$ sería pro-soluble, lo que ciertamente no es: muchos grupos simples no abelianos (por ejemplo $A_n$ para $n \geq 5$ ) se conocen como grupos de Galois sobre $\mathbb{Q}$ .

Lo que he dicho es la respuesta correcta (¡con el 2 invertido!) a otra pregunta: ¿qué números sobrenaturales pueden ser el orden del grupo de Galois absoluto de un campo?

Answer 2

Esta es una pregunta muy interesante, sin embargo parece que una caracterización de todos los subconjuntos de $\mathbb N$ que puede ser una secuencia de grados de este tipo es muy difícil. Le indicaré el artículo "On the degrees of finite extensions of a field" de B. Gordon y E.G. Straus donde estudian este mismo problema. Lamentablemente, no parece que el artículo esté disponible en línea, así que incluiré aquí algunos de sus resultados. Para un campo $k$ , denótese por $S(k)$ la secuencia de grados de los polinomios irreducibles en $k[x]$ ya que el único finito $S(k)$ son $\{1\}$ y $\{1,2\}$ por Artin-Schreier consideraremos las secuencias infinitas.

• Dejemos que $P$ sea cualquier conjunto de números primos, denótese por $N_P$ el conjunto de enteros cuyos divisores primos están en $P$ . Hay un campo $k$ de cualquier característica prescrita con $S(k)=N_P$ .
• Para cada campo $k$ , si $a,b\in S(k)$ y $gcd(a,b)=1$ entonces $ab\in S(k)$ . Si $K$ es algebraico sobre $k$ entonces cada elemento de $S(K)$ divide algún elemento de $S(k)$ .
• Para todo conjunto finito $A\subset \mathbb{N}$ que no contiene $1$ hay un número finito de $A'\subset \mathbb N$ y un campo $k$ para que $S(k)=\mathbb N - A'$ y $A\subset A'$ .
• Si $S(k)$ se compone sólo de potencias de un primo $p$ entonces $S(k)=N_p$ .
• Si $k$ es un campo CE (todas las extensiones finitas son cíclicas) entonces $S(k)$ es igual a algún $N_P$ o a todos los elementos de algún $N_P$ que no son divisibles por $4$ .

También se puede decir algo desde la perspectiva de la computabilidad. Si $P$ es $\Sigma_1$ entonces hay un campo $k$ para que $S(k)=N_P$ y puedes tomar $k$ para ser computable. Véase "Conjuntos de grados de campos computables" .