¿Cómo funciona la entropía con la mezcla?

Question

Imaginemos una caja hipotética llena de agua, con dos secciones divididas de igual volumen: una a 40 grados y la otra a 60 grados. Por tanto, existe una energía asociada a la diferencia de temperatura que podría aprovecharse.

En esta primera caja eliminamos el tabique, el agua se mezcla y el potencial de extracción de energía se pierde por generación de entropía.

Imagina ahora una segunda caja similar que tiene un motor Stirling entre estas dos particiones, cuya potencia se dirige hacia un calentador/agitador en el lado más caliente.

Cuando ambas cajas han alcanzado el equilibrio en estado estacionario, ¿tienen la misma temperatura? Si es así, ¿esta temperatura es exactamente de 50 grados, o ligeramente mayor debido a que el potencial energético se convierte en calor?

Answer 1

Sí; la conservación de la energía dicta que si la diferencia de temperatura se elimina a través de un motor térmico que vierte el trabajo de salida de nuevo en el sistema, entonces la temperatura final es de 50 grados, al igual que si se elimina la partición sin motor térmico.

Tenga en cuenta que como el motor térmico existe dentro de la caja, cualquier ineficiencia simplemente calienta la caja con la energía extraíble de la caja; este no sería el caso de un motor real en el exterior la caja, lo que calentaría el entorno por ineficacia, enfriando así un poco la caja.

Curiosamente, para una capacidad calorífica constante, un motor de eficiencia perfecta nos deja la media geométrica de las temperaturas absolutas originales: $T_\text{final}=\sqrt{T_1T_2}=322.8\,\text{K}=49.8^\circ\text C$ mientras que si se extrae la partición para permitir la mezcla, se obtiene la media aritmética de $T_\text{final}=\frac{T_1+T_2}{2}=50^\circ\text C$ .

Deduzco este resultado aquí El esquema de la prueba es que el contacto térmico irreversible se rige por la conservación de la energía (es decir, la energía que sale del lado más caliente entra en el lado más frío), mientras que un motor térmico reversible se rige por la conservación de la entropía (es decir, la entropía que sale del lado más caliente entra en el lado más frío, y cualquier energía extra en este proceso se puede producir como trabajo).

Así, extraemos como trabajo la energía correspondiente a la diferencia de $0.2^\circ\text C$ multiplicado por la capacidad calorífica total del agua en la caja. Ningún motor real, incluido un verdadero motor Stirling, puede hacerlo mejor.

(Podemos generalizar aún más el resultado como $T_\text{final}=\sqrt[N]{\prod_i^NT_i}$ (con $\prod$ refiriéndose al producto) y $T_\text{final}=\frac{1}{N}\sum_i^N T_i$ para los dos procesos de $N$ cuerpos de igual tamaño de capacidad calorífica constante).

Como en su experimento mental este trabajo se devuelve al lado más caliente y el motor sigue funcionando hasta que se elimina la diferencia de temperatura, obtenemos una temperatura final de 50 grados.

Los gráficos exactos que comparan estos dos escenarios aparecen en "Una perspectiva semicuantitativa" en el enlace :

Answer 2

Cuando alcancen el equilibrio, ambos lados estarán a 50 grados. Llegamos a esto simplemente utilizando la conservación de la energía. Podemos hacerlo porque su motor térmico gastó su energía de trabajo en el agua. Si la hubiera gastado fuera del sistema, la respuesta del Sr. Químico sería relevante.