¿La unión incontable de espacios separables es separable?

Question

Si $V(x)$ es un espacio de Hilbert separable, es $\bigcup_{x \in X}V(x)\times\{x\}$ separable cuando $X$ es un conjunto incontable? ¿Cómo hacer que sea separable si no lo es? ¿Qué supuestos necesito?

Answer 1

Si se refiere al espacio del producto junto con la topología del producto, me temo que no es cierto. Tomemos, por ejemplo, el espacio $[0,1]^{[0,1]}$ lo que significa un número incontable de copias de $[0,1]$ . Este espacio no es separable. Dado que este espacio es compacto y Hausdorff ser separable es en realidad equivalente a ser metrizeable. Por esta razón no creo que haya una forma razonable de "hacer" este espacio separable, ya que no veo una forma razonable de convertirlo en un espacio métrico sin cambiar la topología por completo.

Answer 2

Hay un resultado de Pondiczery, Hewitt y Marczewski :

Si no hay más de $\mathfrak{c}$ ( que es el continuo), espacios topológicos separables, entonces su producto sigue siendo separable.