Distinción entre el producto interno del espacio dual y el producto interno contra el que una representación es unitaria

Question

Todo espacio vectorial $|\vec{v}\rangle$ sobre el campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ contiene un espacio dual, por lo que si hacemos una identificación entre los elementos del espacio dual y el espacio vectorial original, parece que todo espacio vectorial viene naturalmente equipado con un producto interno, llamado producto interno del espacio dual.

Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos tenemos una representación del grupo de Poincare donde nuestro espacio vectorial se puede denotar como $|p^{\mu},\sigma\rangle$ donde $\sigma$ denota pequeños índices de grupo. Sin ninguna suposición física podemos decir que existe un espacio dual a este espacio, y que éste da lugar a un producto interior sobre nuestro espacio vectorial original $\langle p,\sigma|p',\sigma'\rangle=\delta(p-p')\delta_{\sigma\sigma'}$ . Ahora bien, este es UN producto interno pero no necesariamente EL producto interno contra el cual la representación del grupo de Poincare es unitaria.

Pregunta ¿Estoy en lo cierto al decir que para los estados de multipartículas el el producto interno del espacio dual es \begin{equation} \langle \lbrace p,\sigma\rbrace|\lbrace p',\sigma'\rbrace\rangle=\sum_{\text{all possible pairings of primed states with unprimed states}}\,\,\,\,\prod_{\text{pairs}}\delta(p_i-p_{i^{'}}')\delta_{\sigma_i\sigma_{i'}'} \end{equation} mientras que existe otro producto interno, distinto, dado por la amplitud: \begin{equation} \langle \lbrace p,\sigma\rbrace|\lbrace p',\sigma'\rbrace\rangle=\delta(\sum p -\sum p')\mathcal{M}(\lbrace p,\sigma\rbrace,\lbrace p',\sigma'\rbrace) \end{equation} Queremos que la representación del grupo de Poincare sea unitaria frente a ambos productos internos. TLDR: ¿Son distintos el producto interior del espacio dual y el producto interior contra el que queremos que nuestra representación sea unitaria?

Answer 1

Hacer una identificación entre el espacio dual y el espacio original es totalmente equivalente a elegir un producto interno. Hay infinitas formas de identificar $V$ avec $V^*$ por lo que hay infinitos productos internos posibles.

Usted puede pensar que, dada una base ${\bf e}_a$ para $V$ y una base dual ${\bf e}^{*a}$ para $V^*$ tal que ${\bf e}^{*a}({\bf e}_b)=\delta^a_b$ , se puede identificar de forma natural ${\bf e}_a$ avec ${\bf e}^{*a}$ . Se puede hacer esto, por supuesto, pero hay infinitas opciones de bases, y cada una da una identificación diferente y un producto interno diferente. En la mecánica cuántica elegimos el producto interno mediante la elección del mapa antilineal de la daga $\dagger :V\to V^*$ en el que $\dagger: |n\rangle \mapsto (|n\rangle)^\dagger =\langle n|$ . Al optar por identificar el " $|p\rangle$ " (momento) con su dual, su receta hace una elección particular del producto interno.

Creo que más que hablar de la doble espacio producto interno, se debe hablar del dual base producto interior.

Answer 2

Puede comprobar que \begin{align} \hat {\cal L}_z= -i\frac{d}{d\varphi}\, ,\quad \hat {\cal L}_+= -e^{i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}+i\frac{d}{d\varphi}\right)\, ,\quad \hat {\cal L}_-= -e^{-i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}-i\frac{d}{d\varphi}\right)\, . \tag{1} \end{align} satisfacen las mismas relaciones de conmutación que $\hat L_z, \hat L_\pm$ . Supongamos que los operadores de (1) actúan sobre funciones de la forma $f_m(\varphi)=e^{i m\varphi}/\sqrt{2\pi}$ .

El producto interior "natural" es $\langle{m}\vert{m'}\rangle= \int d\varphi \, e^{-i m\varphi}e^{i m'\varphi}/(2\pi)$ pero si usas esto encontrará que la representación matricial de $\hat {\cal L}_x$ y $\hat{\cal L}_y$ actuando en el estados $f_{m}(\varphi)$ no son matrices hermitianas, por lo que no se exponen a una representación unitaria.

En otras palabras, no hay razón para creer que el "producto interno" natural para los estados producirá una representación unitaria.

No es difícil sentirse incómodo con (1) ya que la representación "habitual" por operadores diferenciales no actúa sobre el 1-toro sino sobre $S^2/U(1)$ (los armónicos esféricos); es intuitivamente extraño tener una especie de representación por coordenadas de $SU(2)$ dependiendo de un solo ángulo.

En el caso de un grupo compacto (como $SU(2)$ arriba), lo que se puede decir es que la representación matricial de (1) es equivalente (por una transformación de similitud) a una unitaria. Hay formas sistemáticas de encontrar las transformaciones de semejanza. En el caso de grupos no compactos, es más delicado establecer dicha equivalencia.

Answer 3

Creo que el siguiente ejemplo muestra que estoy en lo cierto en que el producto interno contra el que una representación de un grupo debe ser unitaria no coincide necesariamente con el producto interno del espacio dual, pero aún así agradecería comentarios.

Considere la $(\frac{1}{2},0)$ representación de $SL(2,\mathbb{C})$ . Esto actúa sobre el espacio de vectores complejos bidimensionales $\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$ . Ahora, este espacio vectorial se empareja naturalmente con un espacio dual $(a^{\star},b^{\star})$ y por lo tanto tenemos el producto interno en nuestro espacio vectorial original como \begin{equation} \bigg( \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}c\\ d\end{pmatrix} \producto interno del espacio dual}=ac^estrella+bd^estrella \fin{s} Ahora bien, la representación no es unitaria con respecto a este producto interior, ya que, por ejemplo, en algunas convenciones los elementos del Álgebra de Lie asociados a los boosts son no hermitianos. Sin embargo, existe un producto interno sobre este espacio vectorial que es unitario, a saber, el determinante de los dos vectores \begin{equation} \bigg( \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}c\\ d\end{pmatrix} \Producto interior determinante=ad^estrella-bc^estrella \fin{{de{la{Ecuación} Por lo tanto, el producto interno contra el que una representación es unitaria no tiene por qué coincidir con el producto interno del espacio dual.

Edición 1: En vista de la respuesta de Mike Stones, se podría corregir lo que dije de la siguiente manera. Uno puede ver el producto interno determinante como el producto interno del espacio dual si uno elige que la asociación entre el espacio vectorial y el espacio dual sea: \begin{equation} \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} \Flecha derecha (b^estrella},-a^estrella}bigg) \fin{s} de la ecuación