Lemma de Knopp - Demuestra que T es ergódico

Question

Sea $\beta > 1$ no enteros.

$T_{\beta}: [0,1)\rightarrow[0,1)$ avec $T_{\beta}x = \beta x$ mod $(1) = \beta x-\lfloor\beta x\rfloor$ .

Mostrar con Lemma de Knopp que $T_{\beta}$ es ergódico con respecto a $\lambda$ Medida de Lebesgue.
(Si $T_{\beta}^{-1}A = A$ entonces $\lambda(A)=0$ o $1$ ).

$\underline{\textrm{Knopp's Lemma:}}$ $B$ Conjunto de Lebesgue. $\mathscr{C}$ es la clase de subintervalos de $[0,1)$ con

a) $\forall$ subintervalo abierto de $[0,1)$ es como máximo una unión contable de elementos disjuntos de $\mathscr{C}$

b) $\forall A\in\mathscr{C}$ : $\lambda(A\cap B)\geq \gamma\lambda(A)$ avec $\gamma>0$ independiente de A.

Entonces $\lambda(B)=1$ .

Answer 1

Para cada k hay una partición de $[0,1)$ en intervalos $I{'s}$ tal que $T^k$ restringido a cada $I$ es una biyección en $[0,1)$ . En cada $I$

$$T^k(x)=ax+c $$

donde $a$ y $c$ depende de $k$ y $I$ .

Por lo tanto, para cada par de conjuntos medibles $A$ y $B$ en $I$ tenemos

$$ \dfrac{m(T^k(A))}{m(T^k(B))}=\dfrac{a^km(A)}{a^km(B)}=\dfrac{m(A)}{m(B)} . $$

Dejemos que $B$ sea un conjunto invariable medible con medida positiva, entonces

$$m(B)\geqslant \dfrac{m(T^k(I\cap B ))}{m(T^k(I))} =\dfrac{m(I\cap B)}{m(I)}.$$

Fijar un punto de Lebesgue $p$ en $B$ (podemos elegir un punto así porque $B$ tiene una medida positiva). Para cada $k$ elegir un intervalo $I_k$ cómo por encima de contener $p$ . Dado que el diámetro del $I_k$ convergen a cero y $p$ es el punto de Lebesgue, concluimos que

$$ m(B)\geqslant \lim_{k\to\infty} \dfrac{m(I_k\cap B)}{m(I_k)}=1.$$

¿Puedes ver la clase de subintervalos de la Lema de Knopp?