Prueba fácil de que los espacios isótropos son euclidianos

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach de dimensión finita cuyo grupo de isometría actúa transitivamente sobre el conjunto de las rectas (o, equivalentemente, sobre la esfera unitaria: para cada dos vectores de norma unitaria $x,y\in X$ existe una isometría lineal desde $X$ a sí mismo que envía $x$ a $y$ ). Entonces $X$ es un espacio euclidiano (es decir, la norma proviene de un producto escalar).

Puedo demostrarlo de la siguiente manera: el grupo de isometría lineal es compacto, por lo que admite una medida de probabilidad invariante, por lo que (por un argumento de media) existe una estructura euclidiana preservada por este grupo, y entonces la transitividad implica que la norma de Banach es proporcional a esa norma euclidiana.

Pero esto parece demasiado complicado para un hecho tan natural y aparentemente sencillo. ¿Hay alguna prueba más elemental? Me refiero a algo razonablemente corto y accesible a los no graduados (para poder utilizarlo en un curso que estoy impartiendo).

Añadido. Como ha señalado Greg Kuperberg, hay muchas otras formas de asociar una estructura euclidiana canónica a una norma, por ejemplo, utilizando el elipsoide de John o el elipsoide de inercia. Esto es mucho mejor, pero ¿hay algo más "directo", que evite cualquier construcción auxiliar de elipsoide/producto escalar?

Por ejemplo, he aquí una prueba que considero "más elemental", bajo el supuesto más fuerte de que el grupo de isometría es transitivo en banderas bidimensionales (es decir, pares de la forma (línea,plano que contiene a esta línea)): demuéstralo en dimensión 2 por cualquier medio, esto implica que la norma es euclidiana en todo subespacio bidimensional, luego satisface la identidad del paralelogramo, por lo tanto es euclidiana.

Viendo esto, me doy cuenta de que quizás mi criterio interno para ser "elemental" es la independencia de la dimensión. Así que, permítanme intentar transformar la pregunta en una pregunta matemática real:

• ¿Se cumple el hecho en dimensiones infinitas (digamos, para espacios de Banach separables)?

Answer 1

Es un problema famoso (debido a Banach y Mazur) si un espacio de Banach separable de dimensión infinita que tiene un grupo de isometría transitiva debe ser isométricamente isomorfo a un espacio de Hilbert. Por supuesto, si cada subespacio bidimensional tiene un grupo de isometría transitiva, entonces el espacio es un espacio de Hilbert ya que entonces la norma satisface la identidad del paralelogramo. Para los contraejemplos en el entorno no separable, considere el $\ell_p$ suma de incontables copias de $L_p(0,1)$ con $p$ no $2$ .

Para un artículo reciente relacionado con el problema de rotación de Banach-Mazur, que contiene algunas otras referencias relacionadas con el problema, véase

http://arxiv.org/abs/math/0110202 .

Answer 2

El meollo de la cuestión es definir un producto interno canónico para cualquier norma en dimensiones finitas. Como es canónico, un $X$ -es también una isometría del producto interior. Si el grupo es transitivo sobre líneas, se obtiene inmediatamente que la norma es euclidiana.

Hay dos formas populares de hacerlo. Una es el teorema de John: El elipsoide en la bola unitaria $K$ de $X$ (que es cualquier cuerpo convexo y con simetría central) con el mayor volumen es único. O, por supuesto, se puede utilizar el teorema de John de forma doble, tomando el elipsoide más pequeño que contenga $K$ . El otro elipsoide popular y canónico es el elipsoide de Legendre de $K$ por definición el elipsoide $L$ que tiene la misma matriz de momento de inercia que $K$ , suponiendo que ambos $L$ y $K$ tienen una masa uniformemente distribuida.

---

Por otro lado, el argumento de la media también es "hábil" en mi opinión, y realmente no veo nada malo en ello incluso para los estudiantes de grado. Podría decirse que el problema de cualquier argumento hábil es que es demasiado hábil para algunos estudiantes.

Answer 3

Hay un artículo clásico de Jordan y von Neumann donde se demuestran resultados que permiten resolver esta cuestión de forma elemental.

On Inner Products in Linear, Metric Spaces Autor(es): P. Jordan y J. V. Neumann, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 36, No. 3 (Jul., 1935), pp. 719-723.

Primero demuestran mediante argumentos elementales (su Teorema I) el llamado criterio de Jordan v. Neumann, que un espacio de Banach es de Hilbert si para todo $x$ y $y$ , $(*) ||x + y||^2 - ||x - y||^2 = 2||x||^2 + 2 ||y||^2$ . A continuación, demuestran que un espacio de Banach es Hilbert si cada subespacio de 1 y 2 dimensiones es euclidiano. Este es su argumento:

4.La condición de que cada $<= 2$ -subespacio dimensional $L'$ de $L$ sea isométrico a un espacio euclidiano, es obviamente necesario para la existencia de un producto interno en el espacio lineal generalizado y métrico L. También es suficiente, porque si se cumple, se puede argumentar lo siguiente: Si $f_o,g_0\in L$ el espacio $L'$ de todos $\alpha f_0 + \beta g_0$ ( $\alpha,\beta$ números complejos arbitrarios) es $<= 2$ dimensional, por lo que (*) se mantiene en $L'$ (como en todo espacio euclidiano). Por lo tanto, se mantiene en particular para $f = f_0, g = g_0$ y como $f_0,g_0$ son arbitrarios, el Teorema I demuestra la existencia de un producto interno.

[VEA MÁS ABAJO: ¡La siguiente frase NO completa la prueba!]
Y como ha señalado rpotrie en otra respuesta, el caso bidimensional se desprende de la condición de transitividad asumida.

AVISO DE ERROR: ¡Me he dado cuenta de un grave error en el razonamiento anterior! Si el grupo de isometría $G$ de un espacio de Banach $V$ es transitiva en la esfera unitaria de $V$ NO se deduce de manera evidente que el grupo de isometría de un subespacio $V'$ de $V$ es transitiva en la esfera unitaria de $V'$ . (Si $e_1,e_2$ son vectores unitarios en $V'$ , entonces un elemento $g$ de $G$ que lleva $e_1$ a $e_2$ no necesita salir $V'$ invariante).

Al principio no me di cuenta de lo notable que es la conclusión de que la transitividad en la esfera unitaria implica la euclidiana. Se puede reformular diciendo que la transitividad en $S$ implica $2$ -transigencia, lo que al menos a mí me parece aún más notable. (Fue el darme cuenta de este hecho lo que me hizo ver mi tonto error).

Answer 4

Tal vez esto no sea suficiente, pero en la dimensión dos, se puede fijar un vector unitario $v$ y como debes tener eso $\langle v, w \rangle = cos \alpha$ donde $\alpha$ es el ángulo entre $v$ y $w$ (donde $w$ es otro vector unitario).

Ahora, considera $A_w$ la isometría (única que preserva la oritentación) que envía $v$ a $w$ y se consigue que $det(A_w-Id)$ debe ser $2-2cos(\alpha)$ por lo que puedes tener un producto interno bien definido entre vectores unitarios que puedes extender linealmente.

Parece que la extensión de este argumento a dimensiones superiores puede implicar el promediado (entre las isometrías que envían $v$ a $w$ ) y puede ser el mismo argumento que tenías en mente.

Answer 5

Como dice Greg, el meollo de la cuestión es definir un producto interno canónico para cualquier norma en dimensiones finitas; y esto se puede conseguir fácilmente en el dual $X^*$ :

Si $B$ es la bola unitaria de $X$ para cualquier función lineal $\omega , \omega' \in X^*$ defina:

$$ \langle \omega , \omega' \rangle := \int_B \omega \ \omega' dm $$

donde $m$ es la medida de Lebesgue en $X$ normalizado de manera que $m(B)=1$ .

(Obsérvese que este producto interno es justo el de $L_2(B)$ restringido a $X^* \subset L_2(B)$ por lo que esta construcción se aplica a cualquier conjunto boreliano $B \subset X$ (no necesariamente un cuerpo convexo y simétrico)