Operador pseudodiferencial de suavización infinita

Question

Tengo una pregunta básica sobre la siguiente afirmación hecha en un libro que estoy leyendo. El escenario es el siguiente.

Dejemos que $U$ por un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ con cierre compacto, y $R\in\Psi^{-\infty}(U)$ sea un operador pseudodiferencial (que opere sobre un $\mathbb{C}$ -funciones valoradas en $\mathbb{R}^n$ ) cuyo símbolo es el alisado. Entonces $R$ se extiende a un mapa continuo entre los espacios de Sobolev $H_s$ a $H_t$ para cualquier $s$ y $t$ en $\mathbb{R}$ .

Hasta aquí todo bien. Luego se afirma que $R(H_s)\subseteq C_c^\infty(U)$ por el lema de Sobolev. Puedo ver que el Lemma de Sobolev da $R(H_s)\subseteq C^\infty(U)$ , pero no por qué debería aterrizar en las funciones soportadas de forma compacta. ¿Por qué es así?

Sé que probablemente me estoy perdiendo algo simple aquí. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para cualquier $f\in H_s$ , $R(f)$ se soporta de forma compacta debido a la definición de $R(f)$ como $\int_{U} e^{i x\cdot\xi}r(x,\xi)\hat{f}(\xi)d\xi$ , donde $r$ es el símbolo de $R$ . $R(f)$ hereda el apoyo de $r(x,\xi)$ . Se ve que un límite $\lim_{n\rightarrow\infty} R(f_n)$ de tales imágenes debe ser apoyado de manera similar. La clave aquí es que no sólo cada elemento de la secuencia de imágenes tiene un soporte compacto, sino que tienen el mismo soporte, por lo que su límite también debe tenerlo.