Demuestra por inducción que la suma de un número impar de números Impares es impar

Question

Demostrar por inducción que si $n$ es impar y $a_1,\,\cdots,\,a_n$ son impar, entonces $\begin{aligned}\sum_{i = 1}^n a_i\end{aligned}$ es impar.

---

Progreso: Si $n = 1$ entonces $\sum_{i = 1}^1 a_i = a_1$ , por lo que la declaración está bien. Pero entonces no puedo entender cómo proceder en este caso.

Answer 1

Caso base: $a_1$ es impar, por lo tanto está bien.

Hipótesis de inducción: Para algunos $k$ , $\sum_{i=1}^{2k+1} a_i$ es impar.

Paso de inducción: La suma de dos números Impares es par. Por lo tanto $a_{2k+2}+a_{2k+3}$ está en paz. Y par+impar=impar, y

$$\sum_{i=1}^{2k+3} a_i = \sum_{i=1}^{2k+1} a_i+a_{2k+2}+a_{2k+3}$$

Por tanto, podemos concluir que es cierto.

Answer 2

Realmente no es necesario utilizar índices alternativos.

1. Caso base: $n=1$ .

$\sum_{i=1}^1 a_i = a_1$ es impar.

2. Hipótesis de inducción:

Supongamos que $\sum_{i=1}^n a_i $ es impar (para algunos $n\ge1$ , $n$ es impar).

3. Demuestra que la afirmación es válida para el siguiente número impar después de $n$ .

Si $n$ es impar, entonces el siguiente número impar es $n+2$ .

$\sum_{i=1}^{n+2} a_i = \underbrace{\sum_{i=1}^{n} a_i}_{\text{first $ n $ terms}} + \underbrace{a_{n+1}+a_{n+2}}_{\text{last two terms}}$

Por hipótesis de inducción, $\sum_{i=1}^{n} a_i$ es impar.

$a_{n+1} + a_{n+2}$ es par. (La suma de dos números Impares es par).

Alors $\sum_{i=1}^{n} a_i + (a_{n+1} + a_{n+2})$ es impar. (La suma de un número impar y un número par es impar).

¿Por qué funciona esta prueba?

• sabemos que la suma es impar para $n=1$ .
• sabiendo que la suma es impar para $n=1$ implica que la suma es impar para $n=3$ .
• sabiendo que la suma es impar para $n=3$ implica que la suma es impar para $n=5$ .
• conociendo la suma si impar para $n=5$ implica que la suma es impar para $n=7$ . ...

Answer 3

Prueba sin inducción:

Dejemos que $n = 2m+1$ y que $a_i = 2k_i+1$ para $i=1,\cdots,n$ . Entonces

$$\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^{2m+1} 2k_i+1 = 2\underbrace{\sum_{i=1}^{2m+1} k_i}_{S} + \sum_{i=1}^{2m+1} 1 = 2S + 2m+1 = 2(S+m)+1$$

Answer 4

Si la inducción no es necesaria

Hay un argumento fácil. Sea su número impar de números Impares $a_{1},...,a_{2k+1}$ donde $a_{i}=2k_{i}+1$ para cada $1\leq i\leq 2k+1$ . Entonces

$$\sum_{i=1}^{2k+1} a_{i} = \sum_{i=1}^{2k+1}(2k_{i}+1)=2\sum_{i=1}^{2k+1}k_{i} + \sum_{i=1}^{2k+1} 1 = 2\left(\sum_{i=1}^{2k+1}k_{i}\right) + 2k+1 = 2\left(k+\sum_{i=1}^{2k+1}k_{i}\right) + 1$$

que es claramente impar ya que es uno más que un número claramente par.