Composición de funciones medibles

Question

Consideremos una función localmente acotada $f: X \times W \rightarrow X$ , donde $X \subseteq \mathbb{R}^n$ , $W \subseteq \mathbb{R}^m$ , de tal manera que

para todos $x \in X$ la función $w \mapsto f(x,w)$ es (Borel) medible;

Consideremos una función localmente acotada y medible (Borel) $g: W \rightarrow X$ .

Digamos que si la función

$$ (w,v) \mapsto f( g(w), v ) $$

también es medible (Borel).

Notas: esta pregunta difiere de ambas este y que puesto.

Answer 1

Lo que intentas demostrar no se sostiene. Dejemos que $V$ sea el Conjunto Vitali que no es medible en $B(\mathcal{R})$ . Sea $f: R^{2} \mapsto R$ tal que..:

$$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{$x \in V$};\\ 0 & \mbox{$x \notin V$}.\end{array} \right. $$

Tenga en cuenta que $f$ está acotado localmente y para cualquier $x \in R$ , $y \mapsto f(x,y)$ es medible por Borel, ya que es constante. Sea $g$ sea la función de identidad. Obsérvese que $f(g(x),y) = f(x,y)$ que no es medible en $(R^{2},B(\mathcal{R}^{2}))$ .