Texto de introducción a la geometría de Riemann

Question

He estudiado geometría diferencial y estoy buscando textos básicos de introducción a la geometría de Riemann. Mi objetivo es eventualmente la geometría de Kähler, pero ciertos temas como las geodésicas, la curvatura, las conexiones y el transporte pertenecen más firmemente a la geometría riemanniana.

Estoy al tanto de las preguntas anteriores que piden textos básicos sobre geometría diferencial (o topología). Sin embargo, estas preguntas se refieren principalmente a la geometría diferencial. Aquí me interesa más la geometría riemanniana.

Answer 1

Yo diferenciaría entre algunos libros. Si simplemente quieres aprender a calcular cosas, por ejemplo porque te interesa la física, te recomendaría el libro "Geometría, Topología y Física" de Nakahara que tiene una parte muy buena sobre la goemetría riemanniana. Sin embargo, puede contener más de lo que realmente quieres saber. El libro con el que realmente he entendido la geometría riemanniana ha sido "Riemmanian Geometry and Geometric Analysis" de Jürgen Jost. Sin embargo, podría requerir algunos requisitos previos que no tienes hasta ahora. Como alternativa, podrías leer el libro de Do Carmo. Está escrito de forma muy concisa y presenta algunos buenos ejemplos. No te aconsejo que leas el de Gallot-Hulin-Lafontaine porque algunas de las pruebas son simplemente un esbozo. Para una persona que empieza a aprender geometría riemanniana esto podría ser muy desalentador. Sin embargo, admito que la gran ventaja de este libro es la cantidad de ejercicios.

Algo que quiero añadir porque realmente quiero publicitar un libro: Geometría Riemmaniana de Takahashi Sakai. Si una vez has conseguido lo básico, este libro te lleva más lejos. Un salto cuántico más allá. Pero realmente necesitas lo básico. Yo utilizaría este libro para un segundo curso de Geometría Riemmaniana, asumiendo que el estudiante está familiarizado con las variedades diferenciables y los haces de fibras y un primer curso de Geometría Riemanniana, como por ejemplo el material cubierto en el libro de Jost en los capítulos 1-4.

Answer 2

Me costó mucho encontrar un solo libro que sirviera para todo. Hay un libro Conferencias sobre geometría diferencial de Chern, Chen y Lam que está bastante bien (aunque el nombre de Chern en la portada puede estar afectando mi juicio). Tiene la ventaja de ser muy conciso y bastante claro.

EDITAR : La pregunta se refería específicamente a la geometría de Riemann y no a la geometría diferencial. Si tuviera que describir el libro anterior, diría que trata principalmente de la primera, independientemente del título (aunque tiene algunos capítulos sobre otros temas al final). Sin embargo, no estoy seguro de entender la diferencia lo suficientemente bien como para juzgarla. Ciertamente tiene un capítulo sobre "geometría riemanniana".

(También, apoyo la sugerencia de Milnor's Teoría Morse . El apéndice de la obra de Milnor Clases características tiene una muy buena exposición de las conexiones, pero no tiene ninguna otra geometría riemanniana).

Answer 3

Puede consultar los 3 volúmenes de geometría diferencial de Novikov

Answer 4

En la introducción del libro de Lee se hace referencia al "delicioso librito de Frank Morgan" (Frank Morgan. Riemannian Geometry: A Beginner's Guide. Jones and Bartlett, Boston, 1993). Ese libro es, efectivamente, delicioso.

Answer 5

Todos los libros de Isaac Chavel son excelentes, pero en particular Geometría riemanniana: una introducción moderna es un gran libro si ya te sientes cómodo con la geometría diferencial elemental.