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¿El soporte de una variable aleatoria es siempre un subconjunto de su imagen?

Variable aleatoria X (como función medible de algún espacio de probabilidad a los reales) tiene soporte S e imagen T . Verdadero o falso:

i.) S es siempre un subconjunto de T .

ii.) (S,E,dF) es el espacio de probabilidad inducido con: espacio muestral S , eventos E las intersecciones de S con los conjuntos de Borel, y dF la medida de probabilidad derivada de F -la distribución de X .

(Como S es el subconjunto cerrado más pequeño de los reales R con probabilidad 1, es un subconjunto del cierre de T . Las dos cuestiones vienen de haber leído en alguna parte que el apoyo es, "vagamente" hablando, los resultados X puede tomar sobre el mapeo del espacio a R . Comenzó con el caso T finito).

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sabinedoll Puntos 71

La respuesta es no a i). Y la situación puede ser patológica.

Dejemos que los espacios de probabilidad $(\Omega,\Sigma,\mu)$ sea $[0,1]$ con la medida de Lebesgue. Sea $V_\alpha \subseteq \Omega$ sea un conjunto cerrado y no denso con $\mu(V_\alpha)\ge\alpha$ que no contiene $0$ (se puede demostrar que tales conjuntos existen).

Dejemos que $X: \Omega\to [0,1]$ sea la variable aleatoria (función medible) $X(\omega)=\omega$ si $\omega\notin V_\alpha$ y $X(\omega)=0$ de lo contrario.

Dejemos que $S$ sea el soporte de $X$ . Debe contener el conjunto abierto $[0,1]\setminus V_\alpha$ porque $S$ es cerrado y cada subconjunto abierto de $[0,1]\setminus V_\alpha$ tiene una probabilidad positiva de realizarse bajo $X$ . Pero cualquier conjunto medible que contenga $[0,1]\setminus V_\alpha$ tiene una probabilidad de realizar bajo $X$ . Así, el apoyo $S$ de $X$ es el cierre de $[0,1]\setminus V_\alpha$ que es $[0,1]$ .

Pero $S$ contiene $V_\alpha$ que no está en el rango de $X$ .

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Michael Greinecker Puntos 19016

Para i), dejemos que $q_1,q_2,\ldots$ sea una enumeración de los racionales. Sea $\Omega=\mathbb{Q}$ , $\Sigma=2^\mathbb{Q}$ y $\mu$ sea dada por $\mu\big(\{q_n\}\big)=1/2^n$ . Sea $X:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ sea la identidad. Entonces $X(\Omega)=\mathbb{Q}$ que es menor que el soporte de $X$ que es todo $\mathbb{R}$ .

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