¿Existe una forma rápida de encontrar el $x^{24}$ coeficiente en la expansión de
$$ \left(1-x^6\right)^{-2} \left(1-x^3\right)^{-1} \left(1-x\right)^{-1} $$
El término general de cada paréntesis es $(r+1)x^{6r}$ , $x^{3r}$ y $x^{r}$ respectivamente.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
SiongthyeGoh
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61
Por comodidad, en la notación del índice, sólo sumo sobre enteros no negativos.
\begin{align} \sum_{6r_1+3r_2+r_3=24} (1+r_1) &= \sum_{2r_1+r_2+k=8} (r_1+1) \text{, we let } r_3 = 3k \\ &= \sum_{2r_1+2w=8} (2w+1)(r_1+1) \text{, we let } r_2+k = 2w \\ &= \sum_{r_1+w=4} (2w+1)(r_1+1)\\ &=\sum_{w=0}^4(2w+1)(5-w) \\ &= -2 \sum_{w=0}^4w^2 + 9 \sum_{w=0}^4w+5 \sum_{w=0}^4 1 \\ &= -2 \cdot \frac{4(5)(9)}{6} + 9\cdot \frac{4(5)}{2}+ 5 \cdot 5 \\ &= - 60 +90+ 25 \\ &= 55 \end{align}
CodingBytes
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102
La función racional dada puede escribirse como $$(1+x^6+x^{12}+\ldots)(1+x^6+x^{12}+\ldots)(1+x^3+x^6+\ldots)(1+x^2+x^3+\ldots)\ .$$ El coeficiente $c_{24}$ lo que buscamos es el número de soluciones enteras no negativas de $$6k_1+6k_2+3k_3+k_4=24\ ,$$ o $6k_1+6k_2+3k_3\leq24$ que es lo mismo que $$2(k_1+k_2)+k_3\leq8\ .$$ Si $k_1+k_2=:j\geq0$ cada valor dado de $j$ puede ser realizado por $k_1$ y $k_2$ en $j+1$ formas, y luego $k_3$ puede tomar $8-2j+1$ diferentes valores. De ello se desprende que $$c_{24}=\sum_{j=0}^4(j+1)\cdot(9-2j)=1\cdot9+2\cdot7+3\cdot5+4\cdot 3+5\cdot1=55\ .$$
veeresh pandey
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38
$(1+2x^6+3x^{12}+4x^{18}+5x^{24}+.....).(1+x^3+x^6+x^9+x^{12}+.....x^{24}+.....).(1+x+x^2+.....x^{24}+.....)$
ahora recoger todos los términos factores que dan $x^{24}$
coff. de $x^{24}$ será $=1\times(5.1.1)+3\times(4.1.1)+5\times(3.1.1)+7\times(2.1.1)+9\times(1.1.1)=55$
piensa un poco y no te pierdas ninguno de los casos del problema y siempre conseguirás
respuesta correcta sin ningún planteamiento mecánico
