¿Existe un grupo con dos subgrupos así?

Question

¿Existe un grupo $G$ con las siguientes propiedades? ( $N_G$ es el normalizador)

• $\exists H,F\leq G$ de manera que no haya ninguna inyección $i:F\to H$ o $i:H\to F$
• $N_G(H)/H$ y $N_G(F)/F$ son ambos abelianos
• $N_G(F\cap H)/F\cap H$ no es abeliano

Este problema surgió de un desacuerdo que tuve con un profesor sobre si podemos omitir la condición de normalidad en la definición de una cobertura abeliana universal, pero no se requiere ningún conocimiento de topología algebraica para abordarlo, por supuesto.

Answer 1

El grupo no abeliano más pequeño ya es un ejemplo: $G=S_3$ , $H=S_2$ , $F=A_3$ . En general, para $n\geq 3$ , puede tomar $G=S_n$ , $H=S_{n-1}$ , $F=C_n$ .