Expansión en serie de Neumann para el resolvente

Question

Si $T$ es un operador sobre $l_2$ y $\lambda>r(T)$ (donde $r(T)$ denota el radio espectral de $T$ ), el resolvente $(\lambda I-T)^{-1}$ puede expandirse como $$ (\lambda I-T)^{-1}=\frac{1}{\lambda}I+\frac{1}{\lambda^2}T+\frac{1}{\lambda^3}T^2+\dots $$

Si arreglamos algunos $x\in l_2$ y denota $y:=(\lambda I-T)^{-1}x$ la expansión anterior implica que $y$ está en el tramo cerrado de $(T^nx)_{n=0}^{\infty}$ .

Es $y$ en este lapso incluso cuando $\lambda<r(T)$ ¿entonces no tenemos la serie de Neumann arriba para llegar a esa conclusión?

Answer 1

Esto no es cierto en general. Tome $T$ para ser el operador de desplazamiento a la derecha en $l^2(\mathbb Z)$ . Es invertible, pero $T^{-1}x$ no está en el cierre del tramo de $(T^nx)_{n\ge0}$ para todos $x\in l^2(\mathbb Z)\setminus \{0\}$ de manera que haya $K$ con $x_k=0$ para todos $k<K$ . (Es decir, tomar $x=e_k$ para ser un vector unitario). Sospecho que esto es válido para todos los $x\ne0$ pero no pudo probarlo.

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Si asumimos que $\lambda$ pertenece a la componente conectada al camino del conjunto de resolventes que contiene $\{\mu:|\mu|>r(T)\}$ entonces la afirmación es cierta: $(\lambda I-T)x$ está en el cierre del tramo de $(T^nx)$ para $|\lambda|>r(T)$ . Si tenemos $\lambda_0$ en el conjunto de resolventes, entonces para $\lambda$ cerca de $\lambda_0$ , $(\lambda I-T)^{-1}$ puede escribirse como serie de potencias en $(\lambda_0 I-T)^{-1}$ . Entonces, utilizando la conectividad de los caminos y un argumento de cobertura, uno debería ser capaz de demostrar la afirmación.