Un álgebra de "integrales"

Question

Al hablar de integrales divergentes con la gente, me entró la curiosidad por lo siguiente:

¿Existe una $\mathbb{R}$ -Álgebra $A$ junto con un mapa (podría definirse sólo en un subespacio)

$$\int_0^{\infty}: C^{\infty}(\mathbb{R})--\to A$$

que se comporta como la integración, y se define incluso para alguna función cuya integración es divergente en el sentido habitual? O,

¿Podemos encontrar algún objetivo universal de integración que sea como el módulo de diferenciales de Kahler como objetivo universal de derivación?

En otras palabras, ¿hay una $\mathbb{R}$ -Álgebra $A$ junto con un mapa $T: C^{\infty}(\mathbb{R})\to A$ tal que (aquí hay una lista de propiedades plausibles)

$$T(f(x))=\int_0^{\infty}f(x)dx\in\mathbb{R},\text{ if the RHS converge}.$$ $$T(f(x))-T(f(x+a))=\int_0^af(x)dx \text{ for any }f(x).$$ $$T(f(x))=aT(f(ax)) \text{ for } a>0.$$

(Edición: he eliminado la 4ª, que está incluida en la primera).

O por algunas razones como una $\mathbb{R}$ -álgebra sólo podría ser $\mathbb{R}$ ? He intentado construir un álgebra ``libre'' de algún tipo pero no me queda claro lo que he conseguido. (de las condiciones anteriores hay demasiados generadores y relaciones, e incluso hay cosas de "integración por partes" dada la última regla, no estoy seguro de lo que da el cociente de los generadores por las relaciones).

(Edición: la gente preguntó por qué $A$ necesidad de ser un álgebra, no tengo una buena razón para ello. Sólo quiero ver si se puede extender la definición de integración para que caigan en algún espacio vectorial con cierta estructura. Lo más ingenuo que se me ocurre es que el resultado de una integral es un cierto tipo de "número", y nosotros sumamos, restamos, multiplicamos números).

Answer 1

Dado que los axiomas específicos predeterminados podrían tener problemas, para formalizar el problema para dar un valor razonable a las integrales $\int_0^\infty f$ (con verdaderos $f$ ) donde cada $F(x)=\int_0^x f$ existe de forma razonable para cada $x$ Sugiero mirar la compactación universal de $[0,\infty)$ teniendo en cuenta la amenidad de este semigrupo aditivo (del mismo modo que la amenidad del semigrupo aditivo de los enteros naturales da los límites de Banach de las secuencias acotadas). [La referencia estándar para los anillos de funciones continuas es Gillman - Jerison; no daré referencias para la amenidad, sólo mencionaré el libro de Wagon que relaciona en detalle el fracaso de la amenidad con la existencia de descomposiciones paradójicas como Banach - Tarski - Hausdorff].

Las funciones anteriores $x\mapsto F(x)$ son continuas, por lo que cuando están acotadas (integrales oscilantes) tienen una única extensión real continua a la compactación universal $\beta[0,\infty)$ como valor en el infinito el "valor universal" es entonces un elemento, llámese $F(\infty)$ del álgebra $C(X)$ de funciones continuas de valor real sobre el resto $X=\beta[0,\infty)\setminus[0,\infty)$ . $F(\infty)$ tiene un único valor real, es decir $F$ se extiende por continuidad a la compactación de un punto de $[0,\infty)$ si es una función constante en $C(X)$ . La conmutatividad, y por tanto la amenidad, de $[0,\infty)$ da (independencia de $F(x)$ a partir del valor de $f$ en segmentos finitos fijos $[0,x]$ siendo automático) que también podemos elegir un valor real único "casi razonable" en lugar de una familia $F(\infty)$ de dichos valores, eligiendo una medida positiva adecuada $\mu$ en el resto $X$ y la integración: $\int_X F(\infty)d\mu$ (eligiendo un delta de Dirac para $\mu$ significa elegir uno de los puntos del remanente $X$ es decir, la elección de un ultrafiltro de conjuntos co-cero en el espacio original).

Esto es quizás lo mejor que se puede hacer para asociar valores razonables a integrales oscilantes acotadas. Cuando $F$ no está acotado, sigue siendo continuo; por Gelfand - Kolmogorov, el espectro máximo del anillo $R$ de funciones reales continuas (posiblemente no limitadas) es la misma (compactación universal $\beta$ ) como el del anillo de funciones reales continuas acotadas, y $F(\infty)$ es entonces de nuevo definible como función sobre el resto $X$ pero esta vez sus valores en cada punto en el infinito (es decir, el ideal máximo $m$ del anillo $R$ ) no necesitan números reales, sino elementos de un campo de extensión cerrado real noarchimedeano $R/m$ de los números reales (ese campo depende de $m$ pero existe una extensión común, por la propiedad de amalgama de los campos reales cerrados: Hodges, model theory, pp. 384 - 386). Así se ha llegado al análisis no estándar y a los "órdenes de infinito" como en las respuestas y comentarios anteriores. Lo que cambia para el general $F$ cuando se compara con el subcaso de la limitación de $F$ es que esta vez no existe un proceso de promediación evidente para obtener un único número hiperreal en lugar de una familia $F(\infty)$ de tales números. [O, más exactamente, no conozco ninguna teoría de la medida y de la integración con funciones de valor hiperreal y medida que pueda integrar fácilmente todos $F(\infty)$ de la misma manera que la teoría estándar funciona para el caso real, arquimédico]

Las consideraciones anteriores son por construcción invariantes de traslación, pero no se considera la acción del grupo de dilataciones (último axioma). El grupo generado por las traslaciones y las dilataciones (es decir, el grupo de transformaciones afines de la recta real) es el producto semidirecto de dos grupos abelianos, por lo que es soluble y, por tanto, susceptible. Así que tal vez sea posible obtener una especie de invarianza / covarianza adecuada también para las dilataciones, a pesar de que los axiomas explícitamente señalados tienen problemas.