Un álgebra de "integrales"

Question

Al hablar de integrales divergentes con la gente, me entró la curiosidad por lo siguiente:

¿Existe una $\mathbb{R}$ -Álgebra $A$ junto con un mapa (podría definirse sólo en un subespacio)

$$\int_0^{\infty}: C^{\infty}(\mathbb{R})--\to A$$

que se comporta como la integración, y se define incluso para alguna función cuya integración es divergente en el sentido habitual? O,

¿Podemos encontrar algún objetivo universal de integración que sea como el módulo de diferenciales de Kahler como objetivo universal de derivación?

En otras palabras, ¿hay una $\mathbb{R}$ -Álgebra $A$ junto con un mapa $T: C^{\infty}(\mathbb{R})\to A$ tal que (aquí hay una lista de propiedades plausibles)

$$T(f(x))=\int_0^{\infty}f(x)dx\in\mathbb{R},\text{ if the RHS converge}.$$ $$T(f(x))-T(f(x+a))=\int_0^af(x)dx \text{ for any }f(x).$$ $$T(f(x))=aT(f(ax)) \text{ for } a>0.$$

(Edición: he eliminado la 4ª, que está incluida en la primera).

O por algunas razones como una $\mathbb{R}$ -álgebra sólo podría ser $\mathbb{R}$ ? He intentado construir un álgebra ``libre'' de algún tipo pero no me queda claro lo que he conseguido. (de las condiciones anteriores hay demasiados generadores y relaciones, e incluso hay cosas de "integración por partes" dada la última regla, no estoy seguro de lo que da el cociente de los generadores por las relaciones).

(Edición: la gente preguntó por qué $A$ necesidad de ser un álgebra, no tengo una buena razón para ello. Sólo quiero ver si se puede extender la definición de integración para que caigan en algún espacio vectorial con cierta estructura. Lo más ingenuo que se me ocurre es que el resultado de una integral es un cierto tipo de "número", y nosotros sumamos, restamos, multiplicamos números).

Answer 1

La propiedad (2) da $T(1) = T(1)+a$ para cualquier $a$ que no es resoluble en ninguna álgebra real (o espacio vectorial) $A$ . La propiedad (3) conduce a una cuestión similar, ya que implica que $T(1) = aT(1)$ para todos $a>0$ .

Obsérvese que muchas formas habituales de evaluar sumas e integrales divergentes (por ejemplo, la regularización de la función zeta) no obedecen realmente a (2) o (3). Por ejemplo, la famosa identidad $1 + 2 + 3 + \ldots = -1/12$ que es válida si el LHS se suma utilizando la regularización de la función zeta, es inconsistente con axiomas básicos como (2), como se discute en esta entrada de mi blog . Además, ninguno de estos métodos es capaz de sumar todo series divergentes (o integrar todo funciones no absolutamente integrables). En vista de ello, dudo que un enfoque axiomático que asuma que todas las integrales pueden ser integradas sea la forma más natural de proceder aquí.

AÑADIDO MÁS TARDE: Utilizando suficientes tonterías abstractas, uno puede integrar funciones arbitrarias, pero de una manera bastante inútil. Por ejemplo, usando un análisis no estándar, uno puede mapear $f \in C^\infty({\bf R})$ al número real no estándar $\int_0^N f(x)\ dx \in {}^* {\bf R}$ para algún número real fijo no limitado $N$ y éste será un homomorfismo aditivo perfectamente definido. Si se cotizan los infinitesimales $o({\bf R}) := \{ x \in {}^* {\bf R}: x = o(1) \}$ de ${}^* {\bf R}$ se obtiene de hecho un mapa real-lineal que obedece a la propiedad (1) (si se identifica ${\bf R}$ con un subespacio de ${}^* {\bf R}/o({\bf R})$ de la manera habitual), pero no (2) ni (3). Pero no estoy seguro de que se pueda hacer nada especialmente interesante con esta construcción.

Answer 2

No veo por qué quieres $A$ para ser un álgebra, ya que la integral de 1 no parece una unidad razonable. ¿Querías alguna compatibilidad con integrales de mayor dimensión utilizando el teorema de Fubini? De lo contrario, si sigues la pista de Kähler, parece más natural esperar un espacio vectorial real (o complejo).

Dejemos que $C^\infty(\mathbb{R})_{int}$ denotan el subespacio de $C^\infty(\mathbb{R})$ cuyos elementos son integrables en $[0,\infty)$ y que $C^\infty(\mathbb{R})_{int}^0$ denotan el subespacio de codimensión uno de las funciones cuya integral es cero. He aquí una reformulación de las propiedades deseadas de $A$ y $T$ :

1. Linealidad de $T$ .

2. La restricción de $T$ a $C^\infty(\mathbb{R})_{int}$ aterriza en un subespacio distinguido $\mathbb{R} \subset A$ y viene dada por la integración ordinaria.

3. Buen comportamiento bajo la acción del grupo $\mathbb{R} \rtimes \mathbb{R}^\times_{>0}$ generados por traslaciones y dilataciones que preservan la orientación.

[Editar:] Deja $X$ es un espacio de funciones suaves cerrado bajo adición por $C^\infty(\mathbb{R})_{int}$ , de tal manera que $\mathbb{R} \rtimes \mathbb{R}^\times_{>0}$ actúa libremente sobre el espacio vectorial cotizante $X/C^\infty(\mathbb{R})_{int}$ . Si un objetivo universal $A$ para la integración existía, entonces $X/C^\infty(\mathbb{R})_{int}^0$ debe admitir una inyección a $A$ porque su lista de condiciones no especifica ninguna otra relación. El problema (como señala Tao) es que hay muchas funciones suaves con estabilizador no trivial en $\mathbb{R} \rtimes \mathbb{R}^\times_{>0}$ .

Creo que un método común para eliminar tal dificultad es ignorar el requisito de que la integración sea $\mathbb{R} \rtimes \mathbb{R}^\times_{>0}$ -equivariante. Entonces su espacio universal es simplemente $C^\infty(\mathbb{R})/C^\infty(\mathbb{R})_{int}^0$ .

Answer 3

¿Por qué hacer $A$ ¿un álgebra? La integración es fundamentalmente una operación lineal que tiene, en el mejor de los casos, una relación complicada con la multiplicación en $C^\infty(\mathbb{R})$ . Y veo que Scott Carnahan acaba de exponer el mismo punto en otra respuesta... Scott es el núcleo de lo que yo iba a sugerir también: clases de crecimiento asintótico. Permítanme ampliarlo.

Dejemos que $I_+ \subset C^\infty(\mathbb{R})$ sea el ideal de funciones que desaparecen en alguna vecindad de $+\infty$ (por definición, digamos, en al menos un intervalo de la forma $[a,+\infty)$ con $a\in\mathbb{R}$ ). Sea $A_+ = C^\infty(\mathbb{R})/I_+$ . El cociente $A_+$ es un $\mathbb{R}$ -cuyos elementos capturan las tasas de crecimiento asintótico en $+\infty$ . Sea $1_+$ sea la imagen de la función constante $1\in C^\infty(\mathbb{R})$ bajo el mapa de cociente. Definir $I_-$ , $A_-$ y $1_-$ de la misma manera, sustituyendo $+\infty$ con $-\infty$ .

Ahora, dejemos que $B=A_+\oplus A_-$ y $N\subset B$ sea el subespacio lineal abarcado por el elemento $1_+\oplus 1_-$ . Y, por último, deja que $A = B/N$ donde sólo estamos tomando el cociente de espacios lineales (la propiedad de anillo de $B$ deja de tener importancia).

Cualquier función suave $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ tiene una integral indefinida $f_a(x) = \int_a^x f(y) dy$ que también está en $C^\infty(\mathbb{R})$ . Aplicando los mapas de cociente anteriores, obtenemos una imagen $[f_a]$ de $f_a$ en el espacio lineal $A$ . El hecho de que las imágenes del cociente de las funciones constantes den cero muestra que las imágenes integrales indefinidas con diferentes puntos de base (digamos $f_a$ y $f_b$ ) coinciden. Creo que dejar que $T(f) = [f_a]$ satisfará todas las propiedades que querías de un mapa de "integración".

Answer 4

Yo soy actualmente trabajando en un sistema similar. Pero sus propiedades (2) y (3) no funcionarían y deberían cambiarse.

En cambio, las siguientes propiedades funcionarían mucho mejor:

$$\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx\tag{1}$$

$$\int_a^b (f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx\tag{2}$$

$$\int_a^b c f(x) dx =c \int_a^b f(x) dx\tag{3}$$

$$\int_{-\infty}^0 f(x) dx=\int_0^\infty f(-x) dx\tag{4}$$

donde $a,b,c,f(x)$ y $g(x)$ toman valores de ℝ ∪ {-∞, +∞}.

Así, cualquier integral

$$T=\int_a^b f(x) dx$$ representa un número "ampliado".

Las integrales que son regularizables por un método estable como el de Cesaro o Abel (a diferencia de las de Ramanujan o Dirichlet) se consideran iguales a su suma regularizada:

$$\int_0^\infty f(x)\,dx=\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty e^{-\epsilon x}f(x) \, dx\tag{6}$$

Dos integrales $\int_0^\infty f(x) dx$ y $\int_0^\infty g(x) dx$ son por tanto iguales si

$$\lim_{\epsilon\to 0}\int_0^\infty e^{-\epsilon x}(f(x)-g(x)) \, dx=0$$

También podemos equiparar algunas series divergentes a las integrales:

$$\sum_{k=0}^\infty f(k)=\int_{-1/2}^\infty\sum_{k=0}^\infty\operatorname{rect}(x+k)f(k)dx$$

En nuestra notación consideraremos por definición $$\sum_{k=n}^\infty f(k)=\sum_{k=0}^\infty f(k)-\sum_{k=0}^{n-1}f(k)$$

Ahora, postulamos que el valor regularizado o la integral o serie correspondiente representa la parte regular de un número extendido, mientras que el resto es la parte irregular. Entre los métodos de regularización adecuados están el de Cesaro, Abel, Ramanujan, Borel, la regulacion de Dirichlet y algunos otros (coinciden entre sí cuando son aplicables). Denotaremos el valor regularizado de un número extendido $w$ como $\operatorname{reg} w$

En particular, sería muy útil la fórmula de Faulhaber para la suma de funciones analíticas de Ramanujan:

$$\operatorname{reg} \sum _{n=0}^{\infty} f(n)= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n-1)} (0)}{n!} B_n \tag{7}$$

Utilizaremos los siguientes símbolos para las tres integrales y series más importantes:

$$\omega_+=\sum_{k=0}^\infty 1$$

$$\omega_-=\sum_{k=1}^\infty 1=\omega_+-1$$

$$\tau=\int_0^\infty dx=\omega_+-1/2=\omega_-+1/2$$ (esto también puede interpretarse formalmente como $\tau=\pi\delta(0)$ debido a la transformada de Fourier).

Interpretando la fórmula (7) como una serie de Taylor, llegamos a una fórmula que permite generalizar las funciones analíticas a números extendidos (al menos en el sentido de determinar la parte regular del resultado): $$\operatorname{reg} f'(\omega_-+z)= \Delta f(z)\tag{8}$$ y, en particular, a las generalizaciones de potencias de nuestras series clave: $$\operatorname{reg}\omega_-^n=B_n\tag{9}$$ $$\operatorname{reg}\omega_+^n=B^*_n\tag{9a}$$ donde $B^*$ son los segundos números de Bernoulli (los que tienen $B^*_1=1/2$ ). Una fórmula más general revela el papel de la función zeta de Hurwitz: $$\operatorname{reg}(\omega_-+x)^a= B_a(x)=-a\zeta(1-a,x)$$

Basándonos en la fórmula (7) podemos incluso derivar un expresión para una derivada de una función analítica que no utiliza límites :

$$f'(x)=\operatorname{reg}(f(\omega_++x)-f(\omega_-+x))=\operatorname{reg} \Delta f(\omega_-+x)$$

que funciona para cualquier $x$ .

Además, como muchas expansiones de series de funciones trigonométricas utilizan números de Bernoulli, podemos interpretarlas como partes regulares de series similares pero que implican números extendidos. De esta forma, y utilizando la fórmula (8) podemos obtener las siguientes relaciones:

$$\operatorname{reg}\sin (a\omega_-+x) = \frac{a}{2} \cot \left(\frac{a}{2}\right) \sin x -\frac{a}{2} \cos x$$

$$\operatorname{reg}\cos (a\omega_-+x) = \frac{a}{2} \csc \left(\frac{a}{2}\right) \cos \left(\frac{a}{2}- x \right)$$

$$\operatorname{reg}\ln (\omega_-+z)=\psi(z)$$

$$\operatorname{reg} e^{z\omega_-}=\frac{z}{e^{z}-1}$$

En particular, $$\operatorname{reg}\sin \omega_-=-1/2;$$ $$\operatorname{reg}\sin \omega_+=1/2;$$ $$\operatorname{reg}\ln \omega_+=-\gamma;$$ $$\operatorname{reg} e^{\omega_-}=\frac{1}{e-1};$$ $$\operatorname{reg} e^{\omega_+}=\frac{e}{e-1}.$$

Otra cosa notable es la posibilidad de expresar funciones trigonométricas mediante trigonometría inversa o logaritmos :

$$\cot x=\operatorname{reg}\frac1{\pi }\ln \left(\frac{\omega _+-\frac{x}{\pi }}{\omega _-+\frac{x}{\pi }}\right) = \operatorname{reg}\frac2z \cos (2x\omega_\pm)$$

$$\tan x=\operatorname{reg} \frac1\pi\ln \left(\frac{\tau +\frac{x}{\pi }}{\tau -\frac{x}{\pi }}\right)$$

$$\coth x=\operatorname{reg}\frac{1}{\pi} \operatorname{arccoth}\left(\frac{\pi \omega _+}{x}\right)+\frac1x=\operatorname{reg}\frac1x \cosh (2 x\omega_\pm)$$

A partir de la fórmula de Faulhaber (para $ n\ge0 $ ),

$$ \int_0^\infty x^n dx=\frac{\left(\tau +\frac{1}{2}\right)^{n+2}-\left(\tau -\frac{1}{2}\right)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{\omega _+^{n+2}-\omega _-^{n+2}}{(n+1)(n+2)} $$

Interpretando formalmente la transformada de Fourier, para incluso $ n $ también tenemos

$$ \int_0^\infty x^n dx=i^n\pi\delta^{(n)}(0) $$

Para $ n>1 $

$$ \int_0^\infty \frac1{x^n} dx=\frac1{(n-1)!}\int_0^\infty x^{n-2} dx=\frac{\omega _+^{n}-\omega _-^{n}}{(n-1)n!} $$

En particular, $$\int_0^\infty 1 dx =\tau$$ $$\int_0^\infty x dx=\frac{\tau^2}2+\frac1{24}$$ $$\int_0^\infty x^2 dx=\frac{\tau^3}3+\frac{\tau}{12}$$

Introducimos los límites generalizados de la siguiente manera:

$$ \operatorname{gen}\lim_{x\to u^+}f(x)=f(a)-\int_u^a f'(x)dx $$

donde $a>u$ y

$$\operatorname{gen}\lim_{x\to u^-}f(x)=f(a)+\int_a^u f'(x)dx$$ donde $a<u$

Este valor puede servir como medida de la tasa de crecimiento de una función.

En particular, para $ n\ge0 $

$$ \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}x^n=\frac{\omega _+^{n+1}-\omega _-^{n+1}}{n+1} $$

Para impar $ n $ ,

$$ \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}x^n=i^{n-1}\pi n\delta^{(n-1)}(0) $$

Y

$$ \operatorname{gen}\lim_{x\to 0^+} \frac1{x^n}=\frac{\omega _+^{n+1}-\omega _-^{n+1}}{(n+1)!} $$

Según Urs Graf, p.36, para impar $ n $ ,

$$ \operatorname{gen}\lim_{x\to 0^+} \frac1{x^n}=\frac{i^{n-1}\pi\delta^{(n-1)}(0)}{(n-1)!} $$

Por ejemplo,

$$\int_{0^+}^\infty \frac1{x^2}=\tau$$

Esto, combinado con la forma de la función delta de $\tau=\pi\delta(0)$ puede explicar por qué el logaritmo tiene su parte imaginaria representada como una función escalonada (que es integral de la función delta).

El valor principal de Cauchy de una función analítica en un polo corresponde a la parte regular de sus límites generalizados en el polo, mientras que el orden del polo corresponde al orden del polinomio de $\tau$ del límite generalizado. Así,

$$\operatorname{gen}\lim_{x\to0^\pm}\Gamma(0)=-\gamma\pm\tau$$

$$\operatorname{gen}\lim_{x\to{-1}^\pm}\Gamma(x)=\gamma-1\mp\tau$$

$$\operatorname{gen}\lim_{x\to{-2}^\pm}\Gamma(x)=\frac{3}{4}-\frac{\gamma }{2}\pm\frac\tau 2$$

$$\operatorname{gen}\lim_{x\to{-3}^\pm}\Gamma(x)=\frac{\gamma }{6}-\frac{11}{36}\mp\frac\tau 6$$

$$\operatorname{gen}\lim_{x\to1^\pm}\zeta(x)=\gamma\pm\tau$$

Para los polinomios de Bernoulli tenemos estas fórmulas notables:

$$\omega_-^n=\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}B_n(x)$$

$$\omega_+^n=\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}B_n(x+1)$$

Y más en general,

$$(\omega_-+a)^n=B_n(a)+n\int_0^\infty B_{n-1}(x+a)dx$$

Además, generalizando las fórmulas anteriores podemos escribir el fórmula general para la conversión de la representación integral divergente a la representación omega-tau:

$$\int_0^{\infty } f(x) \, dx=\operatorname{reg}\int_0^{\infty } f(x) \, dx+\int _{\omega_-}^{\omega_+} \int _0^x f(t) dtdx$$

La integral de $\omega_-$ a $\omega_+$ debe entenderse como la diferencia de la antiderivada sobre esos valores.

A continuación se presenta una tabla con algunos números extendidos y sus representaciones en diferentes formas:

$$ \begin{array}{cccccc} \text{Delta form} & \text{In terms of } \tau, \omega_+,\omega_- & \text{Regular part} & \text{Integral or series form} & \text{Generalized limit form} \\ \pi \delta (0) & \tau & 0 & \int_0^{\infty } \, dx;\int_0^{\infty } \frac{1}{x^2} \, dx & \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}x;\operatorname{gen}\lim_{x\to0^+}\frac1x \\ \pi \delta (0)-\frac{1}{2} & \omega _-;\tau-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \sum _{k=1}^{\infty } 1 & \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty} (x-1/2) \\ \pi \delta (0)+\frac{1}{2} & \omega _+;\tau+\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \sum _{k=0}^{\infty } 1 & \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty} (x+1/2) \\ 2 \pi \delta (i) & e^{\omega_+}-e^{\omega_-}-1 & 0 & \int_{-\infty }^{\infty } e^x \, dx & \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty} e^x \\ & \frac{\tau ^2}{2}+\frac{1}{24};\frac{\omega_+^3-\omega_-^3}6 & 0 & \int_0^{\infty} x \, dx;\int_0^\infty \frac2{x^3}dx & \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}2;\operatorname{gen}\lim_{x\to{0^+}} \frac1{x^2}\\ & \frac{\tau ^2}{2}-\frac{1}{24} & -\frac1{12} & \sum _{k=0}^{\infty } k & \operatorname{gen}\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x^2}2-\frac1{12}\right) \\ -\pi \delta''(0) &\frac {\tau^3}3 +\frac\tau{12};\frac{\omega_+^4-\omega_-^4}{12}& 0 & \int_0^\infty x^2dx;\int_0^\infty\frac6{x^4}dx&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}3;\operatorname{gen}\lim_{x\to{0^+}} \frac2{x^3}\\ \pi^2\delta(0)^2-\pi\delta(0)+1/4&\omega_-^2&\frac16&2 \int_0^{\infty } \left(x-\frac{1}{2}\right) \, dx+\frac{1}{6}&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}B_2(x)\\ \pi^2\delta(0)^2+\pi\delta(0)+1/4&\omega_+^2&\frac16&2 \int_0^{\infty } \left(x+\frac{1}{2}\right) \, dx+\frac{1}{6}&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}B_2(x+1)\\ \pi^2\delta(0)^2&\tau^2&-\frac1{12}&\int_{-\infty}^{\infty } |x| \, dx-\frac{1}{12}&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}B_2(x+1/2)\\ &\ln \omega_++\gamma&0&\int_1^\infty \frac{dx}x;\sum_{k=1}^\infty \frac1x -\gamma&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}\ln x\\ -\pi\delta''(0)-\frac14 \pi\delta(0);\pi^3\delta(0)^3&\tau^3&0&\int_0^\infty \left(3x^2-\frac1{4}\right)dx&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty}B_3(x+1/2)\\ \frac{2\pi\delta(i)+1}{e-1}&e^{\omega_-}&\frac1{e-1}&\frac1{e-1}+\frac1{e-1}\int_{-\infty}^\infty e^x dx&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty} \frac{e^x+1}{e-1}\\ \frac{2\pi\delta(i)+1}{1-e^{-1}}&e^{\omega_+}&\frac1{1-e^{-1}}&\frac1{1-e^{-1}}+\frac1{1-e^{-1}}\int_{-\infty}^\infty e^x dx&\operatorname{gen}\lim_{x\to\infty} \frac{e^x+1}{1-e^{-1}}\\ \end{array} $$

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El sistema forma un dominio integral que puede ampliarse para formar un campo. Aún así, hay muchas zonas blancas, en particular, no hay una forma directa de transformar una integral divergente en una expresión en términos de $\omega_\pm$ y viceversa. No existe ninguna fórmula para construir una integral que represente un producto de dos integrales, etc.

Answer 5

EDITAR: Que $g(x)$ sea cualquier función que sea suave en $0$ lo que significa que todas sus derivadas desaparecen en $0$ . Sea $f(x)$ satisfacer $f(x)=g(x)+f(x-1)$ para $x>0$ y $f(x)=0$ para $x\leq 0$ . Claramente $f$ es suave. Entonces

$\int_0^{\infty} g(x) = \int_0^\infty f(x) - \int_0^\infty f(x-1) = \int_0^\infty f(x) - \int_0^\infty f(x)=0$

Así que el segundo axioma hace que cualquier función que sea suave en $0$ desaparecer. Esto contradice el primer axioma.

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Puedes desechar todos los axiomas menos el primero, añadir una estructura algebraica obvia y seguir teniendo problemas.

Utilizando la integración por partes, podemos ver que $\int u dv + \int v du = [uv]_0^{\infty}$ . Si $u(0)=v(0)=0$ , entonces esto es igual a $[u]_0^\infty [v]_0^\infty$ .

Por $[u]_0^\infty$ Quiero decir $\int_0^\infty du$ .

Si aceptas esa igualdad, y quieres la integral de cualquier cosa que sea realmente integrable con integral $0$ para ser $0$ Entonces tienes un problema. Toma $v$ sea una función que disminuya a $0$ en $\infty$ pero nunca es $0$ y tomar $u=f/v$ para cualquier función $f$ (que desaparece en segundo orden en $0$ ). Entonces

$\int df= \int udv+\int vdu= [u]_0^{\infty} [v]_{0}^\infty = [u]_0^\infty 0 = 0$

Dado que las condiciones locales de $f$ en $0$ claramente no importa, la integral de cualquier función es cero.

Está claro por qué ocurre esto. Utilizando $\int_0^\infty f(x) dx = \lim_{y\to \infty} \int_0^y f(x) dx$ vemos que la integración es exactamente el mismo problema que la toma de límites. La única manera de tomar el límite de una función arbitraria es un ultrafiltro. Pero los ultrafiltros suelen tomar funciones decrecientes hasta infinitesimales (invertibles), no $0$ .

Así que esta es una buena explicación de por qué se ve obligado a renunciar a la estructura de álgebra, creo - que le impide el envío de funciones que se integran a $0$ a $0$ .