Cómo integrar $\int_{0}^{1}\text{log}(\text{sin}(\pi x))\text{d}x$ utilizando el análisis complejo

Question

Aquí está el ejercicio 9, capítulo 3 del Análisis Complejo II de Stein & Shakarchi:

Demuestra eso: $$\int_{0}^{1}\text{log}(\text{sin}(\pi x))\text{d}x=-\text{log(2)}$$ [Sugerencia: utilizar un contorno a través del conjunto $\{ri\,|\,\,r\geq0\} \cup\{r\,\,|\,\, r\in[0, 1]\}\cup\{1+ri\,\,|\,\,r\geq0\}$ ]

Ese contorno no me parece que tenga sentido para esta integral en particular. Realmente no tengo ni idea para esta. ¿Alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $I$ sea la integral dada por

$$I=\int_0^1 \log(\sin(\pi x))\,dx \tag 1$$

Ejecución de la sustitución $ x \to x/\pi$ en $(1)$ revela

$$\begin{align} I&=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \log(\sin(x))\,dx \\\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi \log(\sin^2(x))\,dx\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi \log\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)\,dx \tag 2 \end{align}$$

A continuación, la aplicación de la sustitución $x\to x/2$ en $(2)$ rinde

$$\begin{align} I&=\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \log\left(\frac{1+\cos(x)}{2}\right)\,dx \\\\ &=-\frac{\pi}{2}\log(2)+\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\log(1+\cos(x))\,dx\tag 3 \end{align}$$

Ahora pasamos al plano complejo haciendo la sustitución clásica $z=e^{ix}$ . Proceder, $(3)$ se convierte en

$$\begin{align} I&=-\frac{\pi}{2}\log(2)+\frac{1}{4\pi}\oint_{|z|=1}\log\left(1+\frac{z+z^{-1}}{2}\right)\,\frac{1}{iz}\,dz \\\\ &=-\frac{\pi}{2}\log(2)+\frac{1}{4\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{2\log(z+1)-\log(z)}{z}\,dz \tag 4 \end{align}$$

Obsérvese que el integrando en $(4)$ tiene puntos de ramificación en $z=0$ y $z=-1$ y un polo de primer orden en $z=0$ . Elegimos cortar el plano con cortes de rama de $z=0$ a $z=-\infty$ y de $z=-1$ a $z=-\infty$ a lo largo del eje real no positivo.

Podemos deformar el contorno $|z|=1$ alrededor de los cortes de la rama y el poste y escribir

$$\begin{align} \oint_{|z|=1}\frac{2\log(z+1)-\log(z)}{z}\,dz &=\lim_{\epsilon \to 0^+}\left(\int_{-\epsilon}^{-1} \frac{2\log(x+1)-\log|x| -i\pi}{x}\,dx \right.\\\\ &-\int_{-\epsilon}^{-1} \frac{2\log(x+1)-\log|x|+i\pi}{x}\,dx\\\\ &\left. +\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2\log(1+\epsilon e^{i\phi})-\log(\epsilon e^{i\phi})}{\epsilon e^{i\phi}}\,i\epsilon e^{i\phi}\,d\phi\right)\\\\ &=0 \tag 5 \end{align}$$

Por último, utilizando $(5)$ en $(4)$ obtenemos la ansiada igualdad

$$I=-\frac{\pi}{2}\log(2)$$

¡como se iba a demostrar!