¿Se puede utilizar el método de las estrellas y las barras con restricciones en el número de estrellas?

Question

Pregunta : Quería averiguar el número de formas en las que a los 7 números de abajo se les pueden asignar enteros positivos que puedan sumar 42. $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=42$$

la trampa en este problema es la restricción $$ 1\le x_i\le26$$ El Estrellas y barras resulta que sólo proporciona la solución para, si el $x_i$ debe ser no negativo o sólo positivo.

Mi enfoque : Dado que necesito que sólo se utilicen enteros positivos para $x_i$ Así que tengo que usar $${n - 1\choose k-1}.$$ pero al utilizar las fórmulas directamente, definitivamente también contaría las formas en las que un determinado $x_i>26$ Así que pensé que debía usarlo de esta manera, como $k=7=1+6=2+5=...=6+1$ y $n=42=26+16$ , por lo que puedo seleccionar unas cuantas estrellas de 26 estrellas así como 16 estrellas al mismo tiempo: $$({26-1\choose 1-1} + {16-1\choose 6-1}) + ({26-1\choose 2-1} + {26-1\choose 5-1}) + .......+ ({26-1\choose 6-1} + {16-1\choose 1-1})$$ para que el valor más alto $x_i$ puede lograr es de 26.

Mi problema : En realidad no sé si mi forma es correcta o si existe algún otro método de este tipo para utilizar el método de las estrellas y las barras en el que también se incluyan restricciones en el número de estrellas. Gracias.

Answer 1

Pues bien, no es difícil modificar la idea que subyace a la formulación analítica-combinatoria del método de las estrellas y las barras. Denotando a través de $[x^n]\,f(x)$ el coeficiente de $x^n$ en la serie de Taylor en el origen de $f(x)$ , estrellas y barras nos dice que la cardinalidad del conjunto $$E=\{(x_1,\ldots,x_7)\in\mathbb{N}^*\times\ldots\times\mathbb{N}^+: x_1+\ldots+x_7=42\}$$ es igual a $\binom{41}{6}$ que es $$[x^{42}]\left(x+x^2+x^3+\ldots\right)^{7} = [x^{42}]\frac{x^7}{(1-x)^7} = [x^{35}]\frac{1}{(1-x)^7}.$$ De forma similar, la cardinalidad del conjunto $$F=\{(x_1,\ldots,x_7)\in[1,26]^7: x_1+\ldots+x_7=42\}$$ es igual a $$[x^{42}](x+x^2+\ldots+x^{25}+x^{26})^7 = [x^{35}]\frac{(1-x^{26})^7}{(1-x)^7}$$ y aplicando el teorema del binomio a $(1-x^{26})^7$ obtenemos que la RHS es $$ [x^{35}]\frac{1}{(1-x^7)}-7\cdot[x^9]\frac{1}{(1-x)^7}=\color{red}{\binom{41}{6}-7\cdot\binom{15}{6}}.$$ La interpretación combinatoria es sencilla: si un elemento pertenece a $E$ pero no a $F$ a lo sumo una de sus coordenadas es $\geq 27$ .