Se necesita una referencia: $C^r$ convergencia del método de Euler

Question

Dejemos que $U\subset R^n$ estar abierto, $F\colon U\to \mathbb{R}^n$ a $C^\infty$ campo vectorial, y $x(t)$ la solución de $$x’ = F(x)$$ con la condición inicial $x(0) = y$ que suponemos definida al menos para $t\in [0,1]$ . Definir $x_0 = y$ y $$x^\delta_{n+1} = x^\delta_n + \delta F(x^\delta_n),$$ que corresponde a la aplicación del método de Euler con paso $\delta$ . Sabemos por el método de Euler que (si $\delta$ es lo suficientemente pequeño) $x^\delta_n - x(n\delta)$ está limitada por $C\delta$ donde $C$ es una constante que sólo depende de los límites de las normas de $F$ y $DF$ en $U$ (la constante es algo así como $C_2(e^{(n+1)\delta C_1} -1)$ donde $C_1, C_2$ son límites para $F$ y $DF$ respectivamente). Esto implica que $x_n^{1/n} \to x(1)$ como $n\to \infty$ .

Lo que no encuentro en la literatura es que se mantengan estimaciones similares para las derivadas de orden superior con respecto a la condición inicial. Es decir, con respecto a $x_n^{\delta}$ y $x(t)$ como funciones de la condición inicial $y$ hay constantes $C_k$ y $\delta_k$ dependiendo de los límites de las normas de las derivadas de $F$ por encargo $k+1$ en $U$ , tal que para $\delta<\delta_k$ y $n< 1/\delta$ uno tiene $$\|D^k_y x_n^\delta - D^k_y x(n\delta)\| \leq C_k\delta.$$ La prueba parece ser algo engorrosa. ¿Alguien conoce una referencia en la que esto ya esté hecho?

Answer 1

La forma menos engorrosa de hacerlo es la siguiente: Tomar un barrio cerrado $V$ de su condición inicial $y$ . Entonces, para todos los $z\in V$ , dejemos que $x(t,z)$ sea la solución de la EDO con condición inicial $z$ . Ahora vea su ecuación diferencial como una ecuación diferencial abstracta en el espacio de Banach $C^r(V,R^n)$ siendo la condición inicial la función de identidad. Para conseguir lo que quieres, sólo tienes que extender la teoría de convergencia del método de Euler a las funciones valoradas en el espacio de Banach, lo que no presenta mayores problemas.

Answer 2

No sé si las siguientes referencias (de apuntes de clase en internet) aclaran lo suficiente el tema, pero tu pregunta parece estar relacionada con lo que se llama estabilidad de un método numérico.

http://www.math.leidenuniv.nl/~spijker/NumStab98.pdf

http://www.cems.uvm.edu/~tlakoba/math337/notas_4.pdf

La estabilidad está relacionada con el error de redondeo al calcular la solución numérica, que equivale precisamente a una modificación de la condición inicial (y de cada $x _{n}^{\delta} $ ) por alguna cantidad, dependiendo de la precisión numérica.

Si no me equivoco, la estabilidad depende tanto del método como de la EDO a la que se aplica.

En fin, no tengo una referencia precisa, pero lo que buscas parece ser la estabilidad del método de Euler para el problema que estás trabajando.

(publicado como respuesta porque es demasiado largo para un comentario)