He visto que muchas fuentes en línea (incluyendo otras preguntas de intercambio de pilas de matemáticas) dicen que las siguientes son definiciones equivalentes de un punto de inflexión:
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Si $f$ es diferenciable en $I$ decimos que $f$ tiene un punto de inflexión en $a$ si $f'$ tiene un extremo local aislado en $a$ .
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Decimos que $f$ tiene un punto de inflexión en $a$ si $f$ cambia la concavidad en $a$ . Esta definición es algo ambigua para mí, así que decidí que significaría que $\exists \delta>0$ tal que $f$ es estrictamente convexo en $[a-\delta,a]$ y estrictamente cóncavo $[a,a+\delta]$ o $f$ es estrictamente cóncavo en $[a-\delta,a]$ y estrictamente convexo $[a,a+\delta]$ .
Quiero demostrar que estas definiciones son equivalentes (sé que esto podría requerir aclarar la definición 2. de una manera diferente a la que yo tengo).
Pude demostrar que 2. implica 1. Esta es mi prueba:
- Supongamos que $\exists \delta>0$ tal que $f$ es estrictamente convexo en $[a-\delta,a]$ y estrictamente cóncavo $[a,a+\delta]$ . Entonces $f'$ es estrictamente creciente en $[a-\delta,a]$ y $f'$ es estrictamente decreciente en $[a,a+\delta]$ Así que $f'$ tiene un máximo local aislado en $a$ .
El caso cuando $f$ es estrictamente cóncavo en $[a-\delta,a]$ y estrictamente convexo $[a,a+\delta]$ es similar.
Ahora quiero demostrar que 1. implica 2.
- Supongamos que $f'$ tiene un extremo relativo aislado. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $f'$ tiene un mínimo relativo aislado. Necesito demostrar que $f'$ es estrictamente creciente en $[a-\delta,a]$ y $f'$ es estrictamente decreciente en $[a,a+\delta]$ (lo que equivale a demostrar que $f$ es convexo en $[a-\delta,a]$ y cóncavo en $[a,a+\delta]$ ).
Sé que esto no es cierto para una función general $g$ que si $g$ tiene un extremo aislado en $g$ , $g$ es estrictamente monótona a ambos lados de $a$ . (por ejemplo, si la g tiene una discontinuidad de salto, que sé que no es posible para $f'$ ). ¿Por qué es cierto para $f'$ ?
