¿Es válida la siguiente desigualdad o no?

Question

$ 1 > 1 - \dfrac{1}{x}$ por cada $x \in \mathbb{N} $ .

Obviamente, el límite de $1-\dfrac{1}{x}$ a medida que x se acerca al infinito es $1$ pero, ¿es esta desigualdad 100% válida? ¿Necesita una prueba, y si es así, cómo se puede probar esto?

Answer 1

Dejemos que $x\neq0$

$1>1-\frac{1}x\Leftrightarrow 0>-\frac{1}x$

Si $x\in\mathbb{N},x\neq0$ entonces $x>0$ por lo que $\frac{1}x>0$ por lo que la desigualdad siempre mantener

Answer 2

Podrías hacer una prueba rápida por contradicción para comprobarlo. Supongamos que para algún $x \in \mathbb{N}$ que $1\leq 1- \frac{1}{x}$ . Subract $1$ de ambos lados y tenemos $0 \leq -\frac{1}{x}$ . Esto es una contradicción ya que $-\frac{1}{x}$ es estrictamente inferior a cero. Concluimos que $1>1-\frac{1}{x}$ para todos $x \in \mathbb{N}$ .