Conjuntos de 3 enteros que suman 180

Question

Si limitamos los ángulos a números enteros, ¿cuántos triángulos podemos formar? Esto también equivale a: ¿cuántos conjuntos de 3 enteros suman 180?

Answer 1

Suponiendo que cada ángulo tiene un grado > 0. Primero tenemos que calcular el número de formas de distribuir 177 grados en 3 ángulos: $$\binom{177+3-1}{177}=\binom{179}{177} = 15931.$$

Si se consideran iguales los triángulos simétricos, hay que asegurarse de restar el número de permutaciones. El número de triángulos con ángulos idénticos es 1 ( 60,60,60). El número de triángulos con sólo dos ángulos idénticos $b$ y un ángulo $a(a\neq b$ ) es $3*88$ (89 enteros pares entre 2 y 178 menos uno para $a=60$ , tiempos $3$ para tener en cuenta las permutaciones). Esto deja $$15931 - 1 - 3*88 = 15666$$ triángulos con tres ángulos diferentes. Esos triángulos tienen $3!=6$ permutaciones, así $$15666/6 + 88 + 1 = 2700$$ es el número de triángulos si se cuentan los triángulos simétricos como uno.