Suma de 2 $C^*$ -es una subálgebra.

Question

Dejemos que $A$ ser un $C^*$ -y el álgebra $B,C$ dos $C^*$ -subálgebras de $A$ . Es bien sabido que si $C$ es un ideal cerrado de $A$ entonces $B+C$ es un $C^*$ -de la álgebra de $A$ .

Esto me hace pensar que en general $B+C$ no necesita ser un $C^*$ -subálgebra, pero no he podido encontrar ningún contraejemplo. Supongo que ya tenemos un problema porque $B+C$ no tiene por qué ser un álgebra. ¿Hay algún ejemplo concreto?

Answer 1

En $M_2(\mathbb C)$ , toma $$ B=\biggl\{\begin{bmatrix} b&0\\0&0 \end{bmatrix}:\ b\in\mathbb C\biggr\},\qquad C=\biggl\{\begin{bmatrix}c&c\\ c&c \end{bmatrix}:\ c\in\mathbb C\biggr\}. $$ Entonces $B+C$ no es un álgebra, ya que no contiene $$\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}.$$

Para un ejemplo abeliano, $A=\mathbb C^3$ y $$ B=\{(b,b,0):\ b\in\mathbb C\},\qquad C=\{(0,c,c):\ c\in\mathbb C\}. $$ Entonces $$ B+C=\{(b,b+c,c):\ b,c\in\mathbb C\} $$ no es un álgebra, porque $$ (0,1,0)=(1,1,0)(0,1,1)\in BC\setminus (B+C). $$