Demostrar que una secuencia es una Secuencia de Cauchy

Question

Consideremos una secuencia definida recursivamente con

y para todos .

Entonces a1=1/3, a2=8/27 etc. Considerando que 0< x< 1/3 y 0< x^2< 1/9 y por tanto 8/9< 1-x^2< 1 y por tanto 8/27< (1-x^2)/3< 1/3 obtenemos:

Por inducción se obtiene que cada uno de los siguientes an es elemento del intervalo (0,1/3) y para todo n>=3

y por lo tanto

y en general

que produce una suma geométrica cuyo resultado demuestra en última instancia que la sucesión es una sucesión de Cauchy. Mi problema es el 2/9. ¿De dónde viene?

Answer 1

Sólo se trata de aplicar $|a_{n-1}|,\,|a_n|\,< 1/3$ :

$$\frac{|a_n|+|a_{n-1}|}3\ <\ \frac{1/3+1/3}3\ =\frac{2/3}3=\frac29\,.$$