Derivación de la ecuación de la parábola

Question

Por la definición tenemos PF=PD. Utilizando la fórmula de la distancia esta condición se convierte en

$\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p$

¿Cómo se deriva esto de la "fórmula de la distancia"?

La fórmula de la distancia se define como la distancia entre dos puntos $P_1$ y $P_2$ : $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Answer 1

Observa que en tu figura tienes el vértice de la parábola en $(0,0)$ y la directriz es la recta $ y=-p$ , por lo que su parábola es simétrica con respecto a la $y$ eje. Esta posición y simetría particular se utiliza para derivar la ecuación.

Para ver explícitamente el uso de la fórmula de la distancia se puede escribir: $$ P\equiv (x_P,y_P)=(x,y) $$ porque es un punto genérico del plano. $$ D\equiv (x_D,y_D)=(x,-p) $$ $$ F\equiv (x_F,y_F)=(0,p) $$ porque el vértice $V\equiv (0,0)$ debe estar a la misma distancia de $F$ y la directriz (por definición de parábola).

Entonces, utilizando la fórmula de la distancia se encuentra: $$ PF=PD \iff \sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}=\sqrt{(x-x)^2+(y-(-p))^2} $$

esa es su ecuación.

Answer 2

$$\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p $$

Cuadrando ambos lados,

$$ x^2 + y^2 + p^2 - 2 y p = y^2 + p^2 + 2 y p $$

$$ x^2 = 4 y p $$

Esta es la ecuación de una parábola con distancia focal p.

No importa que la parábola Fig 14 parezca más bien un semicírculo.. que enfoca con aberraciones.

Answer 3

Así que el lado izquierdo es la distancia entre $(x,y)$ y $(0,P)$ . El lado derecho es la distancia entre $(x,y)$ y $(x,-P)$ .