En Una identidad binomial a partir de contar permutaciones con ciclos de longitud dos. hemos analizado una determinada suma hipergeométrica por tres métodos diferentes, en primer lugar utilizando una combinatoria, en segundo lugar dos enfoques analíticos diferentes. Aquí queremos generalizar los resultados. En concreto, consideramos la siguiente suma: \begin{equation} S_d(n) := n! \sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/d \rfloor} \binom{-\frac{1}{d} + k}{k} \binom{n}{d \cdot k} \end{equation} donde $d=2,3,4,5,\cdots$ . Para un valor dado de $d$ utilizamos el algoritmo de la hermana Celine con $I=d$ y $J=1$ (ver la otra pregunta para más información sobre el algoritmo). Como resultado encontramos las siguientes relaciones de recursión para nuestra suma en cuestión: \begin{eqnarray} \tiny S_d(n) - (2 n-1) S_d(n-1)=0 & \quad \mbox{for $d=2$} \\ \tiny (n-2) S_d(n) - (3 n^2-7 n+3) S_d(n-1) + (n-1)^2 (3n-5) S_d(n-2) -2 (n-2)^2 S_d(n-3)=0 & \quad \mbox{for $d=3$} \\ \tiny (n-2)(n-3) S_d(n) - (n-3)(4 n^2-9 n+4) S_d(n-1) + (n-1)^2(28-27 n+6 n^2) S_d(n-2)-(n-2)^2(n-1)^2(4 n-11) S_d(n-3)=0 & \quad \mbox{for $d=4$} \end{eqnarray} En general tenemos: \begin{equation} \sum\limits_{i=0}^d (-1)^{d-i} \cdot \left\{ \begin{array}{rrr} (1+(-1)^{d-1}) & \mbox{$i=d$}\\ 1 & \mbox{$i\ne d$} \end{array}\right\} \cdot \N - Izquierda \begin{array}{rrr} \frac{(n-i-2)!}{(n-d)!} & \mbox{$i\le d-2$}\\ 1 & \mbox{$i\ge d-1$} \end{array}\right\} \cdot \N - Izquierda \begin{array}{rrr} [\frac{(n-1)!}{(n-i)!}]^2 & \mbox{$i\ge 1$}\\ 1 & \mbox{$i=0$} \end{array}\right\} \cdot {\mathcal A}_i,d}(n) S_d(n-i) =0 \fin{ecuación} donde \begin{equation} {\mathcal A}_{i,d}(n) := \left\{ \begin{array}{rrr} 1 & \mbox{$i=0$}\\ d-(2 d+1) n+d \cdot n^2 & \mbox{$i=1$} \\ \frac{1}{i-1} \binom{d-2}{i-2}d (i d-1) - (2 d-1) \binom{d-1}{i-1} n + \binom{d}{i} n^2 & \mbox{$2 \le i \le d-2$} \\ -d(d-1)+1+d \cdot n & \mbox{$i=d-1$}\\ 1 & \mbox{$i=d$} \end{array} \derecho. \Fin de la ecuación. Ahora, mi pregunta sería si es posible encontrar una solución de forma cerrada a esas recurrencias en el caso $d > 2$ ? Otra pregunta se refiere a formas alternativas de abordar esta suma.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Respuesta parcial ya que no veo ninguna forma razonable de simplificar el último resultado.
BC4 y GA se refieren a GouldBk.pdf
http://www.dsi.unifi.it/~resp/GouldBK.pdf
En lo que estoy trabajando.
Obsérvese que el límite superior de la suma se satisface automáticamente.
Reescritura para la transformación de Riordan
Utilizamos BC4:
$\mathcal{G}\left(\left(\begin{array}{c} \frac{1}{d}+k\\ k \end{array}\right)\right)=\frac{1}{\left(1-t\right)^{1+\frac{1}{d}}}$
es decir: $ \left[t^{k}\right]\frac{1}{\left(1-t\right)^{1+\frac{1}{d}}}=\left(\begin{array}{c} \frac{1}{d}+k\\ k \end{array}\right)$
y reescribir:
$\frac{S_{d}\left(n\right)}{n!}={\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c} n\\ d\cdot k \end{array}\right)\left[t^{k}\right]\left(\frac{1}{\left(1-t\right)^{1+\frac{1}{d}}}\right)}$
Utilizando el AG, z=1 :
Rendimientos
$=\left[t^{n}\right]\frac{t^{0}}{\left(1-t\right)^{1}}\cdot\frac{1}{\left(1-\left(\frac{t^{d}}{\left(1-t\right)^{d}}\right)\right)^{1}\left(1-\left(\frac{t^{d}}{\left(1-t\right)^{d}}\right)\right)^{\frac{1}{d}}}$
Lo que da la función generadora ordinaria en $t^{n}$
$\frac{t^{0}}{\left(1-t\right)^{1}}\cdot\frac{1}{\left(1-\left(\frac{t^{d}}{\left(1-t\right)^{d}}\right)\right)^{1}\left(1-\left(\frac{t^{d}}{\left(1-t\right)^{d}}\right)\right)^{\frac{1}{d}}} $
No veo mucho sentido en reordenar los términos aquí.
Uno podría simplemente tomar el n o pedir a un programa de álgebra simbólica que empiece a expandir la serie OGF en la variable de indexación $[t^{n}]$ .
