¿Esta expectativa $\mathbb E\big[{\bf 1}_{\{x+\inf_{0\le t\le 2}W_t>0\}}(W_{\tau}-y)^+\big]$ ¿estrictamente positivo?

Question

Dejemos que $(W_t)_{t\ge 0}$ sea un movimiento browniano estándar y $\tau$ ser un tiempo de parada acostado en $[1,2]$ . Para $x, y>0$ ¿podemos mostrar

$$\mathbb E\big[{\bf 1}_{\{x+\inf_{0\le t\le 2}W_t>0\}}(W_{\tau}-y)^+\big]>0?$$

Answer 1

Dejemos que $A= \{W_1>y+2, \, \inf_{0 \le t \le 1} W_t >-x\}.$ Por el principio de reflexión, $$P(A)=P(W_1>y+2)-P(W_1<-2x-y-2)$$ $$=P(W_1>y+2)-P(W_1>2x+y+2)>0\,.$$ Dejemos que $D= \{ \inf_{1 \le t \le 2} W_t >y\}.$ Entonces por la propiedad de Markov y el principio de reflexión, $$P(D|A) \ge P(\inf_{0 \le t \le 1} W_t >-1)=P(W_1>-1)-P(W_1<-1)=P(W_1 \in (-1,1]\:)>0\,.$$ Así, $P(D)>0$ . Deducimos que $$\mathbb E\big[{\bf 1}_{\{x+\inf_{0\le t\le 2}W_t>0\}}(W_{\tau}-y)^+\big]>0$$ Como el integrando es estrictamente positivo en el evento $D$ .