Esperanza de la integral de Ito

Question

La expectativa de una integral estocástica de Itô es cero

$$ E[\int_0^t X(s)dB(s)\,]=0 $$

si

$$ \int_0^t E[X^2(s)]ds\,<\infty $$

A veces es posible verificar esta condición directamente si el integrando de Itô es lo suficientemente simple, pero ¿cómo lo harías si el integrando es el propio proceso? Por ejemplo, considera la EDO lineal

$$ X(t)=X(0) + \int_0^t a ds + \int_0^t b X(s) dW(s) $$

donde W(t) es el movimiento Browniano estándar y a, b son constantes. ¿Cómo mostrar que esta condición se cumple para la integral de Itô en este proceso?

¡Gracias!

Answer 1

Antes de siquiera hacer esta pregunta, necesitas saber que existe una solución a la EDO lineal que has escrito. Sin la existencia de una solución, la pregunta no tiene sentido. El teorema estándar sobre la existencia de soluciones (fuertes) a las EDOs se demuestra usando la iteración de Picard. Como subproducto de la prueba, se obtiene una estimación en $E[X^2(s)]$ que se puede utilizar para responder tu pregunta.

Una buena referencia es el Teorema 5.2.9 en Karatzas & Shreve. En el ejemplo que diste, el teorema establece que existe una solución fuerte, y para cada $t>0$ fijo, existe una constante $C$ que depende solo de $t$, $a$ y $b$, tal que \[ E[X^2(s)] \le C(1 + E[X^2(0)])e^{Cs}, \quad 0\le s\le t. \]