¿Cómo puedo demostrar que la categoría $\mathsf{DL}$ de retículos distributivos acotados y mapas monótonos tiene colímites (filtrados)? Supongo que tenemos una adjunción $$ F \dashv U : \mathsf{DL} \to \mathsf{Set}. $$ Entonces $U$ preserva los límites y $F$ preserva los colímetros. ¿Podemos deducir de esto que $\mathsf{DL}$ tiene colímetros (filtrados), y si es así, ¿cómo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
A continuación se asume que sus morfismos de retículos distributivos acotados son mapas que preservan los encuentros, las uniones, la parte superior y la parte inferior.
Su adjunto, como cualquier adjunto libre entre categorías de modelos de una teoría algebraica, es monádico. En particular, crea coigualadores reflexivos. Esto nos dice, esencialmente, que podemos construir estructuras únicas de celosía distributiva acotada (bdl) en el conjunto cociente de una bdl por una congruencia una relación de equivalencia cerrada bajo las operaciones de la red. Ahora bien, la construcción habitual de colímitos a partir de coproductos y coigualadores utiliza en realidad sólo coigualadores reflexivos. Así, para dar todos los colímites de bdls basta con dar sus coproductos. Y esto es fácil, en términos de generadores y relaciones: una presentación del coproducto de una familia de bdls es simplemente la unión disjunta de las presentaciones de cada bdl en la familia. Por supuesto, al igual que con los productos libres de grupos, los elementos reales de dicho coproducto pueden ser difíciles de entender. Pero no cabe duda de que existe.
Los colímetros filtrados son aún más fáciles: el functor olvidadizo, de nuevo, los crea. Esto no es una propiedad de las mónadas generales, sino de las correspondientes a las teorías algebraicas en particular. La cuestión es que los colímites filtrados de los conjuntos subyacentes de alguna familia filtrada $L_i$ de bdls tiene, de nuevo, una estructura bdl única que convierte los mapas de inclusión en homomorfismos. Está dada simplemente por $[a_i]\vee [b_i]=[a_i\vee b_i]$ , $0=[0_i]$ etc. El filtrado sirve para mostrar que estas fórmulas definen todos los encuentros y uniones posibles de forma bien definida y que las operaciones resultantes son distributivas.
Todo lo anterior es válido para la categoría de modelos de cualquier teoría algebraica finita, que abarca la mayoría de las categorías familiares del álgebra con excepciones como los campos (los axiomas sólo pueden ser ecuaciones), los posets (sólo hay operaciones, no relaciones) y los entramados completos (las operaciones deben ser de aridad finita).
