Máximo alcanzado en los puntos extremos de la bola en $\mathcal{L}(^2\ell^3_\infty)$

Question

Dejemos que $B$ sea la bola unitaria cerrada en $\mathcal{L}(^2\ell^3_\infty)$ (sobre $\Bbb R$ ), $\text{ext}B$ sea el conjunto de sus puntos extremos y $f\in\mathcal{L}(^2\ell^3_\infty)^*$ . ¿Cómo puedo demostrar que $$\|f\|=\sup_{x\in \text{ext}B}|f(x)|.$$

Parece que no podemos utilizar el Teorema de Krein-Milman porque $B$ no es compacto. ¿Conoces otro enfoque?

Answer 1

Un espacio normado es reflexivo si $B$ es débilmente compacto. Aplicar ahora Teorema del máximo de Bauer con $|f|,$ $B,$ y considerando la topología débil.

No he demostrado que su espacio sea reflexivo, así que...