Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}\log \cos \left (\frac{1}{n}\right )$ converge absolutamente.

Question

Demostrar que $$\sum_{n=1}^{\infty}\log \cos \left (\frac{1}{n}\right )$$ converge absolutamente.

La respuesta aquí sugiere utilizar el Prueba de comparación de límites pero funciona para $a_n \geq 0$ mientras que $\ln(\cos (1/n))<0$ . También el límite dado en la respuesta es $-\frac{1}{2}$ mientras que la prueba sólo da resultados para los valores límite positivos. Ese puesto es $6$ años por lo que no dejé esto como comentario.

Answer 1

Como $\;0<\cos\frac 1n<1$ tenemos $\;\Bigl|\log\cos\frac1n\biggr|=\log\biggl(\frac 1{\cos\tfrac1n}\biggr)$ .

Ahora $\cos\frac1n=1-\frac1{2n^2}+o\bigl(\frac1{n^2}\bigr)$ Así que $$\frac 1{\cos\tfrac1n}=\frac 1{1-\tfrac1{2n^2}+o\bigl(\frac1{n^2}\bigr)}=1+\frac1{2n^2}+o\bigl(\frac1{n^2}\bigr)\sim_\infty1+\frac1{2n^2},$$ y en última instancia $$\Bigl|\log\cos\frac1n\biggr|\sim_\infty \log\Bigl(1+\frac1{2n^2}\Bigr)\sim_\infty \frac1{2n^2}, $$ que converge.