Cálculo de $e^{ar}+e^{ar^2}+..+e^{ar^n}$

Question

Calcula la suma,

$$e^{ar}+e^{ar^2}+..+e^{ar^n}\ \text{where} \ a,r\in \mathbb{R}$$

Es fácil calcular la suma cuando las potencias de $e$ están en A.P. Pero, ¿cómo proceder cuando los poderes están en G.P.?

Answer 1

Dejemos que ${ar}^i=i\log m.$ Entonces la serie se convierte en $$\sum_{i=1}^{n}{e^{ar^{i}}}=\sum_{i=1}^{n}{e^{i\log{m}}}=\sum_{i=1}^{n}{{m}^i},$$ que es una serie geométrica.