El anillo de enteros de un campo de número es finitely generado.

Question

Para un campo de número de $K$, podemos definir el anillo de enteros de $K$ $$\mathcal{O}_K:=\{x\in K\big|\ (\exists f\in\mathbb{Z}[X])(f\ \text{ is monic and } f(x)=0)\}.$$ ¿Hay alguna forma fácil de ver desde esta definición, $\mathcal{O}_K$ es finitely generado? Soy capaz de demostrar que esto es cierto, pero yo estoy buscando algo parecido a una línea de prueba o, al menos, una inteligente observación el esclarecimiento de este hecho.

Answer 1

La menor prueba de que yo conozco es la siguiente, y no generalizar a una más abstracta de configuración: vamos a $\sigma_1, ... \sigma_n$ el valor del $n$ incrustaciones $K \to \mathbb{C}$. Considerar el mapa de $(\sigma_1, ..., \sigma_n) : K \to \mathbb{C}^n$. A continuación, este mapa incrusta $\mathcal{O}_K$ como un subgrupo discreto de $\mathbb{C}^n$, que es necesariamente una finitely-libres generados por el grupo abelian.*

El paso importante aquí es comprobar que la imagen de $\mathcal{O}_K$ es realmente discretos, pero esto se desprende por ejemplo del hecho de que si el $\sigma_i$ son demasiado pequeños, a continuación, la primaria simétrica polinomios en la $\sigma_i$ (los coeficientes del polinomio característico) no pueden tomar valores enteros (aparte de $0$).

_{*Croquis: dado un subgrupo discreto $G$$\mathbb{R}^d$, vamos a $g_1, ..., g_r$ ser un subconjunto de a $G$ que es una base de $\text{span}(G)$ como un espacio vectorial. A continuación, $\mathbb{Z} g_1 \oplus ... \oplus \mathbb{Z} g_r$ ha finito índice en $G$ debido a que hay un número finito de elementos de $G$ en el paralelogramo determinado por la $g_i$ por discreto.}